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Enunciado

Cálculo - Louis Leithold - Vol 2- Ed: 3º - Capítulo 18.6 - Ex. 6

Nos exercícios de 1 a 8, calcule a integral iterada.

∫ 1 2 ∫ y y 2 ∫ 0 l n ⁡ ( x ) y e z d z d x d y

Passo 1

Fala aí, pessoal! Beleza? Hoje vamos começar resolvendo integrais iteradas. Essa é a carinha da nossa integral:

∫ 1 2 ∫ y y 2 ∫ 0 l n ⁡ ( x ) y e z d z d x d y

∫ 1 2 ∫ y y 2 y e z 0 l n l n   x   d x d y

∫ 1 2 ∫ y y 2 y e l n l n   ( x )   - y e 0 d x d y

∫ 1 2 ∫ y y 2 y ( x - 1 ) d x d y

Passo 2

Agora vamos pra segunda parte da nossa conta e vamos começar fazendo a integração por soma:

∫ 1 2 y ∫ y y 2 x   d x - ∫ y y 2 1   d x d y

∫ 1 2 y - y 2 - y + y 4 2 - y 2 2 d y

∫ 1 2 y - y 2 + y + y 4 2 - y 2 2 d y

Passo 3

Podemos aplicar a distributiva agora, certo? Fica assim:

∫ 1 2 - y 3 + y 2 + y 5 2 - y 3 2 d y

∫ 1 2 - 3 y 3 2 + y 2 + y 5 2 d y

- 3 y 4 8 1 2 + y 3 3 1 2 + y 6 12 1 2

- 3 2 4 8 - - 3 8 + 2 3 3 - 1 3 + 2 6 12 - 1 12

- 45 8 + 7 3 + 21 4 = 47 24

Resposta

47 24