Nos Exercícios 17 e 18, encontre |v|, |u|, v∙u, u∙v, v×u, u×v, |v×u| , o ângulo entre v e u, o componente escalar de u na direção de v e a projeção ortogonal de u sobre v.

18. v = i + j + 2k

u = -i - k

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Lembremos que a magnitude de um vetor w = a i + b j + c k é dada por

w = a 2 + b 2 + c 2

Sabendo desta informação, nós podemos encontrar v e u , nós temos que

v = 1 2 + 1 2 + 2 2 = 1 + 1 + 4 = 6

E

u = - 1 2 + - 1 2

Simplificando os termos

u = 1 + 1 = 2

Lembre-se que o produto escalar entre dois vetores é dado pela soma do produto dos argumentos componentes, então temos que:

w ∙ z = w i i + w j j + w k k ∙ z i i + z j j + z k k

Com isso,

w ∙ z = w i z i + w j z j + w k z k

Sabendo disto, podemos encontrar v ∙ u e u ∙ v . Que será igual a

v ∙ u = 1 - 1 + 1 0 + 2 - 1 = - 3

E para u ∙ v

u ∙ v = 1 - 1 + 1 0 + 2 - 1 = - 3

Passo 2

Lembre-se que o produto vetorial entre dois vetores é calculado usando o determinante onde:

w × z = w i i + w j j + w k k × z i i + z j j + z k k

Que será igual a

w × z = i j k w i w j w k z i z j z k = w j w k z j z k i - w i w k z i z k j + w i w j z i z j k

Portanto, nós temos que

w × z = w j z k - ( z j w k ) i - w i z k - z i w k j + w i z j - ( z i w j ) k

Agora, vamos usar isso para calcular ( v × u )

v × u = i j k 1 1 2 - 1 0 - 1 = 1 2 0 - 1 i - 1 2 - 1 - 1 j + 1 1 - 1 0 k

Fazendo-se os cálculos,

v × u = - 1 - 0 i - - 1 - - 2 j + 0 - - 1 k = - i - j + k

Para encontrar u × v , vamos usar a seguinte definição

u × v = - ( v × u )

Então, nós temos o seguinte

u × v = - - i - j + k = i + j - k

Agora, calculando v × u usando a equação de módulo

v × u = - i - j + k

Com isso, o módulo é igual a

v × u = - 1 2 + - 1 2 + 1 2 = 1 + 1 + 1 = 3

Passo 3

Lembre-se que o ângulo entre o vetor é dado por:

θ = cos - 1 ⁡ w ∙ z w ∙ z

Agora, para encontrar o ângulo entre v e u , podemos substituir na equação o valor de v ∙ u ,   v   e u , então nós temos que

θ = cos - 1 ⁡ v ∙ u v ∙ u

Fazendo as substituições adequadas, obtemos que

θ = cos - 1 ⁡ - 3 6 2 = cos - 1 ⁡ - 3 1 2 = 5 π 6

Para encontrar a componente escalar de u na direção de v temos que:

u v = u cos ⁡ θ

Substituindo u e cos ⁡ θ , nós temos que

u v = u cos ⁡ θ = 2 ∙ cos ⁡ 5 π 6 = - 6 2

Sabemos que a projeção de u sobre v é dada por:

p r o j v   u = v ∙ u v ∙ u v

Substituindo v ∙ u ,   v e v na equação

p r o j v   u = - 3 6 ∙ 6 i + j + 2 k = - 3 6 i + j + 2 k = - 1 2 i - 1 2 j - 1 2 k

Resposta

Respondido acima!