Nos Exercícios 17 e 18, encontre |v|, |u|, v·u, u·v, v×u, u×v, |v×u| , o ângulo entre v e u, o componente escalar de u na direção de v e a projeção ortogonal de u sobre v.

17. v = i + j

u = 2i + j - 2k

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Lembremos que a magnitude de um vetor w = a i + b j + c k é dada por

w = a 2 + b 2 + c 2

Sabendo desta informação, nós podemos encontrar v e u , nós temos que

v = 1 2 + 1 2 = 2

E

u = 2 2 + 1 2 + - 2 2

Simplificando os termos

u = 4 + 1 + 4 = 9 = 3

Lembre-se que o produto escalar entre dois vetores é dado pela soma do produto dos argumentos componentes, então temos que:

w ∙ z = w i i + w j j + w k k ∙ z i i + z j j + z k k

Com isso,

w ∙ z = w i z i + w j z j + w k z k

Sabendo disto, podemos encontrar v ∙ u e u ∙ v

v ∙ u = i + j ∙ 2 i + 1 j + 2 k

Que será igual a

v ∙ u = 1 ∙ 2 + 1 ∙ 1 + 0 ∙ 2 = 3

E para u ∙ v

u ∙ v = 2 i + 1 j + 2 k ∙ i + j

Simplificando os termos

u ∙ v = 1 ∙ 2 + 1 ∙ 1 + 0 ∙ 2 = 3

Passo 2

Lembre-se que o produto vetorial entre dois vetores é calculado usando o determinante onde:

w × z = w i i + w j j + w k k × z i i + z j j + z k k

Que será igual a

w × z = i j k w i w j w k z i z j z k = w j w k z j z k i - w i w k z i z k j + w i w j z i z j k

Portanto, nós temos que

w × z = w j z k - ( z j w k ) i - w i z k - z i w k j + w i z j - ( z i w j ) k

Agora, vamos usar isso para calcular ( v × u )

v × u = i j k 1 1 0 2 1 - 2 = 1 0 1 - 2 i - 1 0 2 - 2 j + 1 1 2 1 k

Fazendo-se os cálculos,

v × u = 1 - 2 - 1 0 i - 1 - 2 - 2 0 j + 1 1 - 1 2 k = - 2 i + 2 j - k

Para encontrar u × v , vamos usar a seguinte definição

u × v = - ( v × u )

Então, nós temos o seguinte

u × v = - - 2 i + 2 j - k = 2 i - 2 j + k

Agora, calculando v × u usando a equação de módulo

v × u = - 2 i + 2 j - k

Com isso, o módulo é igual a

v × u = - 2 2 + 2 2 + - 1 2 = 4 + 1 + 4 = 3

Passo 3

Lembre-se que o ângulo entre o vetor é dado por:

θ = cos - 1 ⁡ w ∙ z w ∙ z

Agora, para encontrar o ângulo entre v e u , podemos substituir na equação o valor de v ∙ u ,   v   e u , então nós temos que

θ = cos - 1 ⁡ v ∙ u v ∙ u

Fazendo as substituições adequadas, obtemos que

θ = cos - 1 ⁡ 3 3 2 = cos - 1 ⁡ 1 2 = π 4

Para encontrar a componente escalar de u na direção de v temos que:

u v = u cos ⁡ θ

Substituindo u e cos ⁡ θ , nós temos que

u v = u cos ⁡ θ = 3 ∙ cos ⁡ π 4 = 3 2

Sabemos que a projeção de u sobre v é dada por:

p r o j v   u = v ∙ u v ∙ u v

Substituindo v ∙ u ,   v e v na equação

p r o j v   u = 3 2 ∙ 2 i + j = 3 2 i + j = 3 2 i + 3 2 j

Resposta

Respondido acima!