Nos Exercícios 25 e 26, encontre (a) a área do paralelogramo determinado pelos vetores u e v e (b) o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u, v e w.

25. u = i + j - k, v = 2i + j + k, w = -i - 2j + 3k

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A - Calculando o produto vetorial de u e v .

u × v = i j k 1 1 - 1 2 1 1 = i 1 - 1 1 1 - j 1 - 1 2 1 + k 1 1 2 1

Desenvolvendo os termos

u × v = 1 + 1 i - 1 + 2 j + 1 - 2 k

Portanto,

u × v = 2 , - 3 , - 1

Calculando a área do paralelogramo, observe que a fórmula usada é análoga à fórmula A = b h

A = u × v

Fazendo a substituição dos termos

A = 2 2 + - 3 2 + - 1 2 = 14

Passo 2

B – Calculando o produto escalar de u , v e w .

u ∙ v × w = 1 1 - 1 2 1 1 - 1 - 2 3 = ( 1 ) 1 1 - 2 3 - 1 2 1 - 1 3 + ( - 1 ) 2 1 - 1 - 2

Desenvolvendo os termos

u ∙ v × w = 1 3 + 2 - 1 6 + 1 + - 1 - 4 + 1 = 1

Calculando a área do paralelepípedo tomando o valor absoluto do produto escalar triplo. Observe que a fórmula usada é análoga à fórmula

V = l w h

Com isso, nós temos que

V = 1 = 1

Resposta

A - 14

B - 1