Nos exercícios 1-4, encontre a área da região delimitada pelos gráficos das funções.

2. f(x) = x^3 - 2*x^2 + x, g(x) = x^2 - x

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

O gráfico da região que é delimitada por y = x 3 - 2 x 2 + x e y = x 2 - x , sobre o intervalo [ 0,2 ] é igual a

A área da integral é dada por

A = ∫ 0 1 x 3 - 2 x 2 + x - x 2 - x   d x + ∫ 1 2 x 2 - x - x 3 - 2 x 2 + x   d x

Nossa tarefa será apenas calcular essa integral.

Passo 2

Desenvolvendo um pouco mais os termos, nós temos que

A =   ∫ 0 1 x 3 - 2 x 2 + x - x 2 + x   d x + ∫ 1 2 x 2 - x - x 3 + 2 x 2 - x   d x

Logo, nós obtemos o seguinte resultado

A = ∫ 0 1 x 3 - 3 x 2 + 2 x   d x + ∫ 1 2 3 x 2 - 2 x - x 3   d x

Calculando essas integrais, nós obtemos os seguintes resultados

A =   x 4 4 - x 3 + 2 x 0 1 + x 3 - x 2 - x 4 4 1 2  

Com isso

A = 1 4 + 1 4 = 1 2

Logo, a área é igual a 1 2 .

Resposta

A = 1 2