Nos exercícios 1-4, encontre a área da região delimitada pelos gráficos das funções.

3. f(x) = x^2 + 2x; g(x) = x^2 - 1; h(x) = x^2 + x - 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

O gráfico da região fechada pelas funções é dada por

Passo 2

Vamos dividir essa região em duas, existe um ponto de interseção entre y = x 2 + 2 x e y = x 2 - 1 , onde,

x 2 + 2 x = x 2 - 1

Com isso, nós temos que

2 x = - 1 → x = - 1 2

agora, como podemos ver no gráfico acima, para cada x ∈ - 2 , - 1 2 , y = x 2 + 2 x está acima h x = x 2 + x - 2 , então,

∫ - 2 - 1 2 x 2 + 2 x - x 2 - x + 2   d x

Então temos para cada x ∈ - 0.5 ,   1 , y = x 2 - 1 está acima h x = x 2 + x - 2 , então,

∫ - 1 2 1 x 2 - 1 - x 2 + x - 2   d x

Vamos avaliar a área para ambas as regiões, então, somando-as, obteremos a área total

A =   ∫ - 2 - 1 2 x 2 + 2 x - x 2 - x + 2   d x +   ∫ - 1 2 1 x 2 - 1 - x 2 + x - 2   d x

Logo,

A =   ∫ - 2 - 1 2 x 2 + 2 x - x 2 - x + 2   d x + ∫ - 1 / 2 1 x 2 - 1 - x 2 - x + 2   d x

Passo 3

Simplificando as coisas,

A =   ∫ - 2 - 1 2 x + 2   d x + ∫ - 1 2 1 1 - x   d x

Calculando essas integrais,

A =   x 2 2 + 2 x - 2 - 1 / 2 + x - x 2 2 - 1 / 2 1

Logo, nós temos que

A = - 7 8 + 2 + 1 2 + 5 8

Portanto, a área é igual a

A = 9 4

Resposta

A = 9 4