Nos Exercícios 33-38, encontre a distância entre o ponto e a reta.

(0,0; 12); x = 4t, y = -2t, z = 2t

Passo 1

Fala queridos, tudo bom com vocês? Prontos para detonar mais uma questãozinha? Bora!

Temos que para S 0,0 , 12 P ( 0,0 , 0 ) e o vetor parametrizado dado por:

v = 4 i - 2 j + 2 k

Conseguimos montar a seguinte equação, no qual o determinante vai dar essa distância:

P S → × v = i j k 0 0 12 4 - 2 2

Show, para achar o determinante de uma matriz 3x3, temos o seguinte modelo:

Então, vamos seguir as setas em azul realizando o produto dos elementos na mesma seta, e SOMANDO com a o produto da próxima seta e por aí vai. Para as setas em vermelho, vamos realizar o produto dos elementos na mesma seta e SUBTRAIR. Ou seja, o determinante da matriz vai ser calculado por:

D = a 11 ⋅ a 22 ⋅ a 33 + a 12 ⋅ a 23 ⋅ a 31 + a 13 ⋅ a 21 ⋅ a 32

- a 13 ⋅ a 22 ⋅ a 31 - a 11 ⋅ a 23 ⋅ a 32 - a 12 ⋅ a 21 ⋅ a 33

Passo 2

Dessa forma, o determinante para essa matriz vai ser:

P S → × v = d = 24 i + 48 j = 24 ( i + 2 j )

Logo, a distância vai ser o módulo desse vetor, dado por:

d = P S → × v v = 24   1 + 4 16 + 4 + 4 = 24 5 24

= 2 30

É a distância de S   da linha parametrizada.

Espero que tenham curtido! Até a próxima questão 😊

Resposta

2 30