Nos Exercícios 33-38, encontre a distância entre o ponto e a reta.

(0,0); x = 5 + 3t, y = 5 + 4t, z = -3 - 5t

Passo 1

Fala queridos, tudo bom com vocês? Prontos para detonar mais uma questãozinha? Bora!

Temos que para S 0,0 , 0 P ( 5 , 5 , - 3 ) e o vetor parametrizado dado por:

v = 3 i + 4 j ± 5 k

Conseguimos montar a seguinte equação, no qual o determinante vai dar essa distância:

P S → × v = i j k - 5 - 5 3 3 4 - 5

Show, para achar o determinante de uma matriz 3x3, temos o seguinte modelo:

Então, vamos seguir as setas em azul realizando o produto dos elementos na mesma seta, e SOMANDO com a o produto da próxima seta e por aí vai. Para as setas em vermelho, vamos realizar o produto dos elementos na mesma seta e SUBTRAIR. Ou seja, o determinante da matriz vai ser calculado por:

D = a 11 ⋅ a 22 ⋅ a 33 + a 12 ⋅ a 23 ⋅ a 31 + a 13 ⋅ a 21 ⋅ a 32

- a 13 ⋅ a 22 ⋅ a 31 - a 11 ⋅ a 23 ⋅ a 32 - a 12 ⋅ a 21 ⋅ a 33

Passo 2

Dessa forma, o determinante para essa matriz vai ser:

P S → × v = d = 13 i - 16 j - 5 k

Logo, a distância vai ser o módulo desse vetor, dado por:

d = P S → × v v =   169 + 256 + 25 9 + 16 + 25 = 4 5 0 50 = 9 = 3

É a distância de S   da linha parametrizada.

Espero que tenham curtido! Até a próxima questão 😊

Resposta

3