Nos Exercícios 40 –48, encontre o domínio e a imagem à função.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

‎Primeiro, determinamos o domínio de ‎g.

‎A expressão ‎ 1 t ​‎ não é definido quando ‎t=0 ‎portanto ‎0‎ não está no domínio.‎

‎A expressão ‎ cos ⁡ u ‎ é definido para todos os números reais ‎‎no‎‎no‎‎, portanto, quando ‎ 1 t ‎ é definido, assim é ‎ g t = cos ⁡ 1 t

‎Concluímos que o domínio da função é

D = - ∞ , 0 ∪ 0 , + ∞

Passo 2

‎Em seguida, determinar o alcance de ‎g.

‎Sabemos que a amplitude de cosseno é ‎[‎−‎‎1,1‎]‎. Assim, a gama de ‎g‎ tem que ser um subconjunto de [‎−‎‎1,1‎].

‎Queremos mostrar que ‎‎ R = [‎−‎‎1,1‎].

‎Para fazer isso, é o suficiente para mostrar que todos os números no intervalo ‎‎[‎−‎‎1,1‎]‎ estão no alcance.‎

Passo 3

‎Pegue qualquer número ‎c‎ a partir do intervalo ‎‎‎[‎−‎‎1,1‎] .

‎Do círculo unitário sabemos que existe um número x c ​∈ [‎ ‎‎p,2‎‎ p‎]‎ de tal forma que‎

cos ⁡ x c ​ = c

‎Desde a função ‎ 1 t ​‎ está diminuindo, concluímos que‎

1 x c ∈ 1 2 s , 1 P

Observe que ‎‎ 1 2 s , 1 P   ⊆   D isto é, podemos ligar ‎ 1 x c ​‎ em função ‎g.

Substituindo 1 x c em g

g 1 x c = c o s 1 1 x c

= c o s   x c

=   c

‎Isso significa que cada número no intervalo ‎[‎−‎‎1,1‎]‎ é um valor de ‎g‎ para algum número do domínio, ou seja, cada número em ‎[‎−‎‎1,1‎]‎ está no alcance.‎ Concluímos que R = - 1,1

‎Finalmente, o domínio da função é D = (−∞,0) ∪ (‎0, +‎‎∞‎)‎, e seu alcance é ‎[‎−‎‎1,1‎].

Resposta

D   =   ( - ∞ ,   0   )   ∪   ( 0 ,   + ∞ )

R = - 1,1