Nos Exercícios 29 e 30, encontre o plano determinado pelas retas em interseção.

L1: x = -1 + t, y = 2 + t, z = 1 - t; -∞ < t < ∞

L2: x = 1 - 4s, y = 1 + 2s, z = 2 - 2s; -∞ < s < ∞

Passo 1

Fala queridos, tudo bom com vocês? Prontos para detonar mais uma questãozinha? Bora!

Gente, vamos usar os coeficientes que multiplicam as variáveis t e s em cada coordenada como coeficientes das equações das retas. Ou seja:

L 1 : 1,1 , - 1

L 2 : - 4,2 , - 2

Esses vão ser também os coeficientes multiplicadores das direções na equação das duas retas. Como mostrado abaixo, temos:

L 1 = i + j - k

L 2 = - 4 i + 2 j - 2 k

Para encontrar a equação desse plano, podemos fazer a matriz gerada pelos dois vetores. Temos então:

L 1 × L 2 = i j k 1 1 - 1 - 4 2 - 2

Show, para achar o determinante de uma matriz 3x3, temos o seguinte modelo:

Então, vamos seguir as setas em azul realizando o produto dos elementos na mesma seta, e SOMANDO com a o produto da próxima seta e por aí vai. Para as setas em vermelho, vamos realizar o produto dos elementos na mesma seta e SUBTRAIR. Ou seja, o determinante da matriz vai ser calculado por:

D = a 11 ⋅ a 22 ⋅ a 33 + a 12 ⋅ a 23 ⋅ a 31 + a 13 ⋅ a 21 ⋅ a 32

- a 13 ⋅ a 22 ⋅ a 31 - a 11 ⋅ a 23 ⋅ a 32 - a 12 ⋅ a 21 ⋅ a 33

Passo 2

Dessa forma, o determinante para essa matriz vai ser:

6 j + 6 k

Seguinte, para montar a equação do plano, vamos utilizar os coeficientes das coordenadas do plano ao qual ele é normal. Esses vão ser também nossos coeficientes multiplicadores. Temos então, respectivamente 0 ,   6 ,   6 .

Já as coordenadas do ponto pelo qual o plano passa, vamos subtrair de cada direção. Feito isso, vamos calcular assim:

( 0 ) x + 1 + 6 y - 2 + 6 z - 1 = 0

Agora ficou fácil, só simplificar! Então temos:

6 y - 6 z = 18

Ou, dividindo tudo por 6:

y + z = 3

Espero que tenham curtido! Até a próxima questão 😊

Resposta

y + z = 3