Nos Exercícios 29 e 30, encontre o plano determinado pelas retas em interseção.

L1: x = t, y = 3 - 3t, z = -2 - t; -∞ < t < ∞

L2: x = 1 + s, y = 4 + s, z = -1 + s; -∞ < s < ∞

Passo 1

Fala queridos, tudo bom com vocês? Prontos para detonar mais uma questãozinha? Bora!

Gente, vamos usar os coeficientes que multiplicam as variáveis t e s em cada coordenada como coeficientes das equações das retas. Ou seja:

L 1 : 1 , - 3 , - 1

L 2 : 1 , 1 , 1

Esses vão ser também os coeficientes multiplicadores das direções na equação das duas retas. Como mostrado abaixo, temos:

L 1 = i - 3 j - k

L 2 = i + j + k

Para encontrar a equação desse plano, podemos fazer a matriz gerada pelos dois vetores. Temos então:

L 1 × L 2 = i j k 1 - 3 - 1 1 1 1

Show, para achar o determinante de uma matriz 3x3, temos o seguinte modelo:

Então, vamos seguir as setas em azul realizando o produto dos elementos na mesma seta, e SOMANDO com a o produto da próxima seta e por aí vai. Para as setas em vermelho, vamos realizar o produto dos elementos na mesma seta e SUBTRAIR. Ou seja, o determinante da matriz vai ser calculado por:

D = a 11 ⋅ a 22 ⋅ a 33 + a 12 ⋅ a 23 ⋅ a 31 + a 13 ⋅ a 21 ⋅ a 32

- a 13 ⋅ a 22 ⋅ a 31 - a 11 ⋅ a 23 ⋅ a 32 - a 12 ⋅ a 21 ⋅ a 33

Passo 2

Dessa forma, o determinante para essa matriz vai ser:

- 2 i - 2 j + 4 k

Seguinte, para montar a equação do plano, vamos utilizar os coeficientes das coordenadas do plano ao qual ele é normal. Esses vão ser também nossos coeficientes multiplicadores. Temos então, respectivamente - 2 ,   - 2 ,   4 .

Já as coordenadas do ponto pelo qual o plano passa, vamos subtrair de cada direção. Feito isso, vamos calcular assim:

( - 2 ) x - 0 + - 2 y - 3 + 4 z + 2 = 0

Agora é só simplificar! Então temos:

- 2 x - 2 y + 4 z = - 14

Ou, dividindo tudo por - 2 :

x + y - 2 z = 7

Espero que tenham curtido! Até a próxima questão 😊

Resposta

x + y - 2 z = 7