Nos exercícios 5-8, esboce a região delimitada pelos gráficos das funções e encontre sua área.

6. x = 1/2 y; x = y * raiz(1 - y^2), 0 ≤ y ≤ 1

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Para encontrar o ponto de interseção, nós temos que igualar as duas funções, com isso, nós temos que

1 2 y = y 1 - y 2

Desenvolvendo os termos,

1 2 2 = 1 - y 2

Logo, nós obtemos que

1 4 - 1 = - y 2 → - y 2 = - 3 4

Multiplicando por - 1

y 2 = 3 4 → y = ± 3 4

Portanto,

y =   ± 3 2

No entanto, para nossa região desejada, não nos importamos com a interseção em y = - 3 2 , nosso ponto de interseção é em y = 3 2 . Com isso, o gráfico dessa região é igual a

Passo 2

Nós temos duas integrais aqui, para cada y ∈ 0 , 3 2 , x = y 1 - y 2 , é mais a direita que x = 1 2 y , então,

∫ 0 3 2 y 1 - y 2 - 1 2 y   d y

E para cada y ∈ 3 2 , 1 , y = 1 2 y fica mais à direita que x = y 1 - y 2 , então nós temos que

∫ 3 2 1 1 2 - y 1 - y 2   d y

Avaliando ambas as integrais e depois somá-las nos dará a área total. Portanto,

A = ∫ 0 3 2 y 1 - y 2 - 1 2 y   d y + ∫ 3 2 1 1 2 - y 1 - y 2   d y

Passo 3

Calculando essas integrais, nós temos que

A = - 1 - y 2 3 2 3 - 1 4 y 2 0 3 2 + 1 4 y 2 + 1 - y 2 3 2 3 3 2 1  

Substituindo os termos, nós temos que

A = - 11 48 + 1 3 + 1 4 - 11 48

Portanto,

A = 1 8

Resposta

A = 1 8