Nos exercícios 5-8, esboce a região delimitada pelos gráficos das funções e encontre sua área.

7. y = 4 - x^2; y = 3x; y = 4

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Para encontrar os pontos de interseção, temos os seguintes cálculos

y = 3 x   e   y = 4 ;

y = 4 - x 2   e   y = 3 x

Como exemplo no primeiro caso, o ponto de interseção será no seguinte ponto

3 x = 4 → x = 4 3

E no segundo caso...

4 - x 2 = 3 x

Com isso, nós temos que

4 - x 2 - 3 x = 0

Que tem as seguintes raízes

x = - 4   e   x = 1

Para nossa região, x = 1 será escolhido, logo, temos o seguinte gráfico

Passo 2

Vamos dividir esta região em duas, para cada x ∈ [ 0,1 ] , y = 4 está acima de y = 4 - x 2 , então temos

∫ 0 1 4 - 4 - x 2   d x

E para x ∈ 1 , 4 3 , y = 4 está acima de y = 3 x , portanto,

∫ 1 4 3 4 - 3 x   d x

A área total se dá pela soma dessas duas integrais, logo

A =   ∫ 0 1 4 - 4 - x 2   d x + ∫ 1 4 3 4 - 3 x   d x

Desenvolvendo essas integrais, nós temos que

A = ∫ 0 1 x 2   d x + ∫ 1 4 3 4 - 3 x   d x

Passo 3

Essa área tem como resultado,

A =   x 3 3 0 1 + 4 x - 3 x 2 2 1 4 / 3

Calculando os valores

A = 1 3 + 8 3 - 5 2 = 1 2

Resposta

A = 1 2