Nos exercícios 5-8, esboce a região delimitada pelos gráficos das funções e encontre sua área.

8. x = y^3 - 2y^2 + y, x = y^2 - y

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos lá, nós temos as seguintes “funções” para calcular

x = y 3 - 2 y 2 + y ,     x = y 2 - y

Fazendo o gráfico, nós temos a seguinte configuração

Por esse gráfico, vamos dividir a integral em duas partes: do intervalo [ 0,1 ] sendo que y 3 - 2 y 2 + y   está acima de y 2 - y , e do intervalo de [ 1,2 ] com y 2 - y acima de y 3 - 2 y 2 + y , com isso, nós temos a seguinte integral

A = ∫ 0 1 y 3 - 2 y 2 + y - y 2 - y   d y + ∫ 1 2 y 2 - y - y 3 - 2 y 2 + y   d y

Passo 2

Desenvolvendo os termos, nós temos que

A =   ∫ 0 1 y 3 - 3 y 2 + 2 y   d y + ∫ 1 2 - y 3 + 3 y 2 - 2 y   d y

Com isso, já podemos calcular essas integrais

A =   y 4 4 - 3 y 3 3 + 2 y 2 2 0 1 + - y 4 4 + 3 y 3 3 - 2 y 2 2   1 2

Logo,

A = 1 4 + 1 4 + 4 + 8 - 1 - 4 + 1 = 1 4 + 1 4 + 32 4 = 34 4

Portanto, a área é igual a

A = 34 4

Resposta

A = 34 4