Nos exercícios 3 e 4, mostra que a função y = f x é uma solução da equação diferencial dada.

3. y = 1 x ∫ 1 x e t t d t ,   x 2 y ' + x y = e x

Passo 1

Falaaa, galerinha!!

Nessa questão vamos ter que derivar as funções dadas e substituir na equação diferencial...

Seee derem coisas iguais dos dois lados da igualdade, então é solução.

Se não derem coisas iguais, não é solução.

Bora lá...

Passo 2

a) Temos a função:

y = 1 x ∫ 1 x e t t d t

Derivando (lembrando da regra do produto):

y ' = 1 x ' ∫ 1 x e t t d t + 1 x ∫ 1 x e t t d t '

Ahh... tem essa derivada aí de integral, mas que que isso?

Lembra, do primeiro teorema fundamental do cálculo, que a derivada da integral de f é a própria f :

d d x ∫ a x f t d t = f x

Então ficamos com:

y ' = - 1 x 2 ∫ 1 x e t t d t + 1 x e x x

y ' = - 1 x 2 ∫ 1 x e t t d t + e x x 2

Passo 3

E agora substituindo na equação diferencial:

x 2 y ' + x y = e x

x 2 - 1 x 2 ∫ 1 x e t t d t + e x x 2 + x 1 x ∫ 1 x e t t d t = e x

- ∫ 1 x e t t d t + e x + ∫ 1 x e t t d t = e x

e x = e x

Portanto, é solução.

Resposta

É solução.