Nos exercícios 3 e 4, mostra que a função y = f x é uma solução da equação diferencial dada.

4. y = 1 1 + x 4 ∫ 1 x 1 + t 4 d t ,   y ' + 2 x 3 1 + x 4 y = 1

Passo 1

Falaaa, galerinha!!

Nessa questão vamos ter que derivar as funções dadas e substituir na equação diferencial...

Seee derem coisas iguais dos dois lados da igualdade, então é solução.

Se não derem coisas iguais, não é solução.

Bora lá...

Passo 2

a) Temos a função:

y = 1 1 + x 4 ∫ 1 x 1 + t 4 d t

Derivando (lembrando da regra do produto):

y ' = 1 1 + x 4 ' ∫ 1 x 1 + t 4 d t + 1 1 + x 4 ∫ 1 x 1 + t 4 d t '

Ahh... tem essa derivada aí de integral, mas que que isso?

Lembra, do primeiro teorema fundamental do cálculo, que a derivada da integral de f é a própria f :

d d x ∫ a x f t d t = f x

Então ficamos com:

y ' = - 1 2 4 x 3 1 + x 4 3 2 ∫ 1 x 1 + t 4 d t + 1 1 + x 4 1 + x 4

y ' = - 2 x 3 1 + x 4 3 2 ∫ 1 x 1 + t 4 d t + 1

Passo 3

E agora substituindo na equação diferencial:

y ' + 2 x 3 1 + x 4 y = 1

- 2 x 3 1 + x 4 3 2 ∫ 1 x 1 + t 4 d t + 1 + 2 x 3 1 + x 4 1 1 + x 4 ∫ 1 x 1 + t 4 d t = 1

- 2 x 3 1 + x 4 3 2 ∫ 1 x 1 + t 4 d t + 1 + 2 x 3 1 + x 4 3 2 ∫ 1 x 1 + t 4 d t = 1

1 = 1

Portanto, é solução.

Resposta

É solução.