Nos exercícios 1 e 2, mostre que cada y = f(x) é uma solução da equação diferencial dada.

1. 2 * y' + 3y = e^(-x)

(a) y = e^(-x)

(b) y = e^(-x) + e^(-3/2 * x)

(c) y = e^(-x) + C * e^(-3/2 * x)

Passo 1

Falaaa, galerinha!!

Nessa questão vamos ter que derivar as funções dadas e substituir na equação diferencial...

Seee derem coisas iguais dos dois lados da igualdade, então é solução.

Se não derem coisas iguais, não é solução.

Bora lá...

Passo 2

a) Temos a função:

y = e - x

Derivando:

y ' = - e - x

E agora substituindo na equação diferencial:

2 y ' + 3 y = e - x

2 - e - x + 3 e - x = e - x

- 2 e - x + 3 e - x = e - x

e - x = e - x

Portanto, é solução.

Passo 3

b) Temos a função:

y = e - x + e - 3 2 x

Derivando:

y ' =   - e - x - 3 2 e 3 2 x

E substituindo na equação diferencial:

2 y ' + 3 y = e - x

2 - e - x - 3 2 e 3 2 x + 3 e - x + e - 3 2 x = e - x

- 2 e - x - 3 e 3 2 x + 3 e - x + 3 e 3 2 x = e - x

e - x = e - x

Portanto, é solução.

Passo 4

c) Temos a função:

y = e - x + e - 3 2 x

Derivando:

y ' =   - e - x - C 3 2 e 3 2 x

E substituindo na equação diferencial:

2 y ' + 3 y = e - x

2 - e - x - C 3 2 e 3 2 x + 3 e - x + C e - 3 2 x = e - x

- 2 e - x - 3 C e 3 2 x + 3 e - x + 3 C e 3 2 x = e - x

e - x = e - x

Portanto, é solução.

Resposta

Todas as funções são solução.