Nos exercícios 1-4, mostre que o limite leva a uma indeterminação. Então execute o procedimento de dois passos: transformar a função algebricamente e calcular usando continuidade.

2. lim x → - 1 ⁡ x + 1 x 2 + 2 x + 1

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Primeiro, vamos substituir diretamente, com x = - 1 , nós temos que o limite é igual a

lim x → - 1 ⁡ x + 1 x 2 + 2 x + 1 = - 1 + 1 - 1 2 + 2 - 1 + 1

Com isso, nós temos que

lim x → - 1 ⁡ x + 1 x 2 + 2 x + 1 = 0 1 - 2 + 1 = 0 0

Isso nos leva a uma indeterminação, logo, vamos fazer algumas manipulações algébricas.

Passo 2

O termo x 2 + 2 x + 1 pode ser fatorado como

x 2 + 2 x + 1 = x + 1 2

Que por sua vez é igual a

x 2 + 2 x + 1 = x + 1 x + 1

Logo, o limite será igual

lim x → - 1 ⁡ x + 1 x 2 + 2 x + 1 = lim x → - 1 ⁡ x + 1 x + 1 x + 1

“Cortando” o termo x + 1

lim x → - 1 ⁡ x + 1 x 2 + 2 x + 1 = lim x → - 1 ⁡ 1 x + 1

Substituindo, nós temos que

lim x → - 1 ⁡ x + 1 x 2 + 2 x + 1 = 1 - 1 + 1 = 1 0

Isso ainda nos causa problemas, logo, vamos para os limites laterais para verificar se o limite existe naquele ponto.

Passo 3

Calculando o limite lateral direito, nós obtemos o seguinte resultado

lim x → - 1 + ⁡ x + 1 x 2 + 2 x + 1 = lim x → - 1 + ⁡ 1 x + 1

Com isso, geramos um valor um pouquinho maior do que -1, logo, temos que

lim x → - 1 + ⁡ x + 1 x 2 + 2 x + 1 = 1 0 + = ∞

Resultado preocupante, mas vamos outro limite lateral. O limite lateral esquerdo é igual a

lim x → - 1 - ⁡ x + 1 x 2 + 2 x + 1 = lim x → - 1 - ⁡ 1 x + 1

Com isso, nós temos um valor um pouquinho menor do que -1, o que torna o limite

lim x → - 1 - ⁡ x + 1 x 2 + 2 x + 1 = 1 0 - = - ∞

Como os limites laterais têm resultados diferentes, nós temos que o limite é divergente!

Resposta

Divergem!