Nos Exercícios 5-8, use a derivada para identificar os intervalos abertos nos quais a função é crescente ou decrescente. Compare seu resultado ao gráfico da função.

f(x) = x^4 - 2*x^2

Passo 1

Nessa questão, assim como nas outras, começamos calculando a derivada e depois encontrando os valores de x para os quais essa derivada é nula:

f ' ( x ) = d d x x 4 - 2 x 2 = 4 x 3 - 4 x

f ' ( x ) = 0 ⇒ 4 x 3 - 4 x = 0 ⇒ 4 x ( x 2 - 1 ) = 0   ⇒ x = 0 , x = ± 1

Temos três pontos críticos, ou seja, quatro intervalos de teste: ( - ∞ , - 1 ) , ( - 1,0 ) , ( 0,1 ) e ( 1 , ∞ ) .

Passo 2

Agora que sabemos os intervalos de teste, vamos testar se f ' ( x ) é positivo ou negativo nesses intervalos. Como f ' ( x ) = 4 x ( x 2 - 1 ) então é mais fácil testar os sinais de 4 x e x 2 - 1 separadamente. Vamos lá?

  • ( - ∞ , - 1 )
  • Aqui, x < - 1 . Assim

    x < - 1 ⇒ 4 x < - 4 < 0

    x < - 1 ⇒   x 2 > 1 ⇒ x 2 - 1 > 0

    Um dos termos é negativo e o outro positivo, então a multiplicação é negativa. Ou seja, f ' ( x ) < 0 e a função é decrescente nesse intervalo.

  • ( - 1,0 )
  • Temos

    - 1 < x < 0 ⇒ x 2 < 1 ⇒ x 2 - 1 < 0  

    - 1 < x < 0 ⇒ 4 x < 0

    Como os dois termos são negativos então f ' ( x ) > 0 e a função é crescente no intervalo.

  • ( 0,1 )
  • Nesse caso,

    0 < x < 1 ⇒ x 2 < 1 ⇒ x 2 - 1 < 0

    0 < x < 1 ⇒ 0 < 4 x

    Assim, f ' ( x ) < 0 e a função é decrescente nesse intervalo.

  • ( 1 , ∞ )

Nesse intervalo, temos

1 < x ⇒ 1 < x 2 ⇒ 0 < x 2 - 1  

1 < x ⇒ 4 < 4 x ⇒ 4 x > 0

Logo, f ' ( x ) > 0 e a função é crescente no intervalo.

Passo 3

Ao observamos o gráfico, vemos que a função é crescente nos intervalos ( - 1,0 ) e ( 1 , ∞ ) e decrescente nos intervalos ( - ∞ , - 1 ) e ( 0,1 ) , exatamente o que encontramos através da derivada.

Resposta

f ( x ) é crescente em ( - 1,0 ) e ( 1 , ∞ ) e decrescente em ( - ∞ , - 1 ) e ( 0,1 ) .