Nos Exercícios 5-8, use a derivada para identificar os intervalos abertos nos quais a função é crescente ou decrescente. Compare seu resultado ao gráfico da função.

f(x) = -(x + 1)²

Passo 1

Fala, galera! Para determinar os intervalos abertos onde a função é crescente, precisamos primeiro calcular a derivada da função:

f ' ( x ) = d d x [ - ( x + 1 ) 2 ] = - 2 ( x + 1 )

A partir de f ' ( x ) = - 2 ( x + 1 ) percebemos que a derivada é nula quando x = - 1 . Isso quer dizer que x = - 1 é um número crítico. Os intervalos de teste serão os intervalos à direita e à esquerda desse ponto crítico, ou seja, x < - 1 e x > - 1 . Esses intervalos podem ser escritos como ( - ∞ , 1 ) e ( 1 , ∞ ) .

Passo 2

Agora, vamos analisar o sinal de f ' ( x ) nesses intervalos:

  • ( - ∞ , 1 ) :

Nesse caso, x < - 1 , como já escrevemos acima. Então, adicionamos 1 a ambos os lados da desigualdade e multiplicamos por - 2 (lembrando que nesse caso a desigualdade é invertida):

x <   - 1 ⇒   x + 1 < - 1 + 1 = 0 ⇒   x + 1 < 0 ⇒   f ' ( x ) = - 2 ( x + 1 ) > 0

Como f ' ( x ) é positivo, então a função é crescente nesse intervalo.

  • ( - 1 , ∞ ) :

Agora, temos x > - 1 . Vamos prosseguir de maneira similar, somando 1 a ambos os lados e multiplicando por - 2 :

x >   - 1 ⇒   x + 1 > - 1 + 1 = 0 ⇒   f ' ( x ) = - 2 ( x + 1 ) < 0

Nesse caso, como f ' ( x ) , então a função é decrescente nesse intervalo.

Esse é justamente o comportamento que observamos no gráfico: f ( x ) crescente no intervalo ( - ∞ , 1 ) e decrescente no intervalo ( - 1 , ∞ ) .

Resposta

f ( x ) crescente no intervalo ( - ∞ , 1 ) e decrescente no intervalo ( - 1 , ∞ ) .