Nos Exercícios 5-8, use a derivada para identificar os intervalos abertos nos quais a função é crescente ou decrescente. Compare seu resultado ao gráfico da função.

f(x) = x^2 / (x + 1)

Passo 1

Fala, galerinha! Nessa questão, vamos começar calculando a derivada da função e vendo onde ela vai ser nula:

f ' ( x ) = d d x x 2 x + 1 = 2 x   ( x + 1 ) - x 2 ⋅ 1 ( x + 1 ) 2 = 2 x 2   + 2 - x 2 ( x + 1 ) 2 = x 2 + 2 ( x + 1 ) 2 = x ( x + 2 ) ( x + 1 ) 2

f ' ( x ) = 0 ⇒ x ( x + 2 ) ( x + 1 ) 2 = 0   ⇒ x = 0 ,   x = - 2

Com isso, vemos que x = 0 e x = - 2 são pontos críticos. Dessa vez, temos que atentar para o fato de que f ' ( x ) tem uma indeterminação em x = - 1 . Então, na verdade, temos que analisar quatro intervalos de teste: ( - ∞ , - 2 ) , ( - 2 , - 1 ) , ( - 1,0 ) e ( 0 , ∞ ) .

Passo 2

Como o denominador ( x + 1 ) 2 é sempre positivo), só precisamos estudar o sinal de x e x + 2 . Temos:

  • ( - ∞ , - 2 )
  • x < - 2   já nos diz que x é negativo. Da mesma forma, x < - 2 ⇒ x + 2 < 0 . Como os dois termos são negativos, segue que f ' ( x ) é positivo nesse intervalo.

  • ( - 2 , - 1 )
  • - 2 < x < - 1   ⇒ x < 0

    - 2 < x < - 1   ⇒ 0 < x + 2

    Como uma das parcelas é positiva e a outra negativa, f ' ( x ) < 0 e portanto decrescente nesse intervalo.

  • ( - 1,0 )
  • A condição - 1 < x < 0 já nos garante que x < 0 . Por outro lado, temos - 1 < x < 0 ⇒ 0 < 1 < x + 2

    Como uma das parcelas é positiva e a outra negativa, f ' ( x ) < 0 e portanto decrescente nesse intervalo.

  • ( 0 , ∞ )

Nesse caso, já temos x > 0 logo de cara e x + 2 > 0 também. Portanto, f ' ( x ) > 0 e crescente nesse intervalo.

Esse é exatamente o comportamento que observamos no gráfico. Além disso, o fato de f ' ( x ) ser indeterminada em x = - 1 é condizente com o fato da função ser descontínua nesse ponto.

Resposta

f ( x ) é decrescente em ( - 2 , - 1 ) e ( - 1,0 ) e crescente em ( - ∞ , - 2 ) e ( 0 , ∞ ) .