Nos Exercícios 5-8, use a derivada para identificar os intervalos abertos nos quais a função é crescente ou decrescente. Compare seu resultado ao gráfico da função.

Passo 1
Galera, o primeiro passo nessa questão é calcular a derivada da função e descobrir quais são os valores de que fazem a derivada ser nula. A derivada é
Assim, para a derivada ser nula, devemos ter
Com isso, descobrimos que e são pontos críticos que nos dão três intervalos que devem ser estudados: , e .
Passo 2
Agora que sabemos os intervalos, podemos estudar o comportamento da função neles. Para descobrir isso, só precisamos verificar se é positivo ou negativo no intervalo. Vamos lá?
Se está nesse intervalo, quer dizer que . O segredo aqui é sempre realizar operações em ambos os lados da desigualdade para tentar obter . Temos em , então podemos elevar ao quadrado em ambos os lados. Só tem um detalhe que temos que prestar atenção aqui. Como os lados são negativos, então a inequação é invertida nessa operação:
Agora, multiplicamos por e depois subtraímos em ambos os lados
Ok! Descobrimos que , ou seja, a função é crescente nesse intervalo.
Nesse intervalo deve obedecer . De novo, vamos elevar ao quadrado em ambos os lados, mas dessa vez temos uma parte negativa, uma positiva e que pode ser positivo ou negativo. Então vamos “quebrar” essa inequação em duas: e . Quando elevamos a primeira inequação ao quadrado, devemos inverter a inequação, pois todos os termos são negativos:
Como todo número elevado ao quadrado é sempre maior ou igual a zero, então a inequação acima pode ser escrita como sem nenhum problema. Na segunda inequação, todos os termos são positivos, então não precisamos invertê-la quando elevamos ambos os lados ao quadrado:
Vemos então que ambas as inequação levaram à mesma conclusão: . Agora podemos seguir o mesmo roteiro de antes – multiplicar por e subtrair em ambos os lados
Como , então a função é decrescente nesse intervalo.
Qualquer nesse intervalo deve obedecer . Seguindo o mesmo raciocínio, obtemos
A função é crescente nesse intervalo porque .
Passo 3
Se observarmos o gráfico veremos que é crescente em , decrescente em e crescente novamente em e são pontos onde a função muda de seu crescimento.
Resposta
é crescente em e em e decrescente em .