Nos Exercícios 5-8, use a derivada para identificar os intervalos abertos nos quais a função é crescente ou decrescente. Compare seu resultado ao gráfico da função.

f(x) = (x^3 / 4) - 3x

Passo 1

Galera, o primeiro passo nessa questão é calcular a derivada da função e descobrir quais são os valores de x que fazem a derivada ser nula. A derivada é

f ' ( x ) = d d x x 3 4 - 3 x = d d x x 3 4 - d d x 3 x = 3 x 2 4 - 3

Assim, para a derivada ser nula, devemos ter

3 x 2 4 - 3 = 0 ⇒ 3 x 2 4 = 3 ⇒ x 2 4 = 1 ⇒ x 2 = 4 ⇒ x = ± 2

Com isso, descobrimos que x = + 4 e x = - 4 são pontos críticos que nos dão três intervalos que devem ser estudados: ( - ∞ , - 2 ) , ( - 2,2 ) e ( 2 , ∞ ) .

Passo 2

Agora que sabemos os intervalos, podemos estudar o comportamento da função neles. Para descobrir isso, só precisamos verificar se f ' ( x ) é positivo ou negativo no intervalo. Vamos lá?

  • ( - ∞ , - 2 )
  • Se x está nesse intervalo, quer dizer que x < - 2 . O segredo aqui é sempre realizar operações em ambos os lados da desigualdade para tentar obter f ' ( x ) . Temos x 2 em f ' ( x ) , então podemos elevar ao quadrado em ambos os lados. Só tem um detalhe que temos que prestar atenção aqui. Como os lados são negativos, então a inequação é invertida nessa operação:

    x < - 2 ⇒ x 2 > 4

    Agora, multiplicamos por 3 / 4 e depois subtraímos 3 em ambos os lados

    x 2 > 4   ⇒ 3 4 x 2 > 3 4 ⋅ 4 = 3   ⇒   3 4 x 2 - 3 = f ' ( x ) > 0  

    Ok! Descobrimos que f ' ( x ) > 0 , ou seja, a função é crescente nesse intervalo.

  • ( - 2,2 )
  • Nesse intervalo x deve obedecer - 2 < x < 2 . De novo, vamos elevar ao quadrado em ambos os lados, mas dessa vez temos uma parte negativa, uma positiva e x que pode ser positivo ou negativo. Então vamos “quebrar” essa inequação em duas: - 2 < x < 0 e 0 ≤ x < 2 . Quando elevamos a primeira inequação ao quadrado, devemos inverter a inequação, pois todos os termos são negativos:

    - 2 < x < 0 ⇒ 4 > x 2

    Como todo número elevado ao quadrado é sempre maior ou igual a zero, então a inequação acima pode ser escrita como 0 ≤ x 2 < 4 sem nenhum problema. Na segunda inequação, todos os termos são positivos, então não precisamos invertê-la quando elevamos ambos os lados ao quadrado:

    0 ≤ x 2 < 4

    Vemos então que ambas as inequação levaram à mesma conclusão: 0 ≤ x 2 < 4 . Agora podemos seguir o mesmo roteiro de antes – multiplicar por 3 / 4 e subtrair 3 em ambos os lados

    0 ≤ x 2 < 4   ⇒   3 4 ⋅ 0 = 0 ≤ 3 4 x 2 < 3 4 ⋅ 4 = 3   ⇒ - 3 ≤ 3 4 x 2 - 3 < 3 - 3 = 0  

    - 3 ≤ f ' ( x ) < 0

    Como f ' ( x ) < 0 , então a função é decrescente nesse intervalo.

  • ( 2 , ∞ )

Qualquer x nesse intervalo deve obedecer 2 < x . Seguindo o mesmo raciocínio, obtemos

2 < x   ⇒   4 < x 2   ⇒     3 4 ⋅ 4 < 3 4 x 2   ⇒ 3 < 3 4 x 2 ⇒ 0 < 3 4 x 2 - 3 = f ' ( x )

A função é crescente nesse intervalo porque f ' ( x ) > 0 .

Passo 3

Se observarmos o gráfico veremos que f ( x ) é crescente em ( - ∞ , - 2 ) , decrescente em ( - 2,2 ) e crescente novamente em ( 2 , ∞ ) e x = ± 2 são pontos onde a função muda de seu crescimento.

Resposta

f ( x ) é crescente em ( - ∞ , - 2 ) e em ( 2 , ∞ ) e decrescente em ( - 2,2 ) .