Nos exercícios 11-14, use os valores tabulados do integrando para estimar a integral com (a) a regra do trapézio e (b) a regra de Simpson com n = 8 passos. Arredonde suas respostas para cinco casas decimais. Depois (c) determine o valor exato da integral e o erro na aproximação para E T ou E S , como for apropriado.

11. ∫ 0 1 x 1 - x 2 d x

Passo 1

Falaaaa... beleza?

Nessa questão vamos precisar da regra do trapézio, que para fazer a aproximação para ∫ a b f x d x ,   usamos:

T = Δ x 2 y 0 + 2 y 1 + 2 y 2 + … + 2 y n - 1 + y n

Também da regra de Simpson:

S = Δ x 3 y 0 + 4 y 1 + 2 y 2 + 4 y 3 + … + 2 y n - 2 + 4 y n - 1 + y n

Os y ' são os valores de f nos pontos da partição

x 0 = a , x 1 = a + Δ x ,   x 2 = a + 2 Δ x , … , x n - 1 = a + n - 1 Δ x , x n = b ,

Onde Δ x = b - a n .

Passo 2

Ohhh... repara que:

Δ x = b - a n

Δ x = 1 - 0 8

Δ x = 0,125

Que é exatamente o intervalo dos valores que são dados na tabela... Então já temos os valores de tudinho. Só precisamos jogar nas fórmulas.

a) Para a regra do trapézio:

T = Δ x 2 y 0 + 2 y 1 + 2 y 2 + … + 2 y n - 1 + y n

T = 0,125 2 0,0 + 2 0,12402 + 2 0,24206 + 2 0,34763 + 2 0,43301 + 2 0,48789 + 2 0,49608 + 2 0,42361 + 0,0

T = 0,31929

Lembrando que ele pediu com cinco casas decimais, ok?

Passo 3

b) E agora usando a regra de Simpson:

S = Δ x 3 y 0 + 4 y 1 + 2 y 2 + 4 y 3 + … + 2 y n - 2 + 4 y n - 1 + y n

S = 0,125 3 0,0 + 4 0,12402 + 2 0,24206 + 4 0,34763 + 2 0,43301 + 4 0,48789 + 2 0,49608 + 4 0,42361 + 0,0

S = 0,32812

Passo 4

Agora é o grosso da questão. Bora resolver essa integral na raça.

c) Usando o método da substituição simples, chamamos:

u = 1 - x 2

d u = - 2 x   d x

→ x d x = - d u 2

Para os limites de integração:

x = 0 → u = 1

x = 1 → u = 0

Então ficamos com:

∫ 1 0 - u 2 d u = - 1 2 u 3 2 3 2 1 0

= - u 3 2 3 1 0

= 1 3

Então temos que:

∫ 0 1 x 1 - x 2 d x = 1 3

Só falta agora calcular o erro que é só a gente subtrair o valor exato do valor da aproximação.

Para a regra do trapézio:

E T = 1 3 - 0,31929

E T = 0,01404

Para a regra de Simpson:

E S = 1 3 - 0,32812

E S = 0,00521

Ufa... acabamos.

Resposta

a) T = 0,31929

b) S = 0,32812

c) ∫ 0 1 x 1 - x 2 d x = 1 3

E T = 0,01404

E S = 0,00521