Nos Exercícios 1-8, verifique que a afirmação está correta mostrando que a derivada do lado direito é igual ao integrando do lado esquerdo.

∫ ( 1   -   1 x 2 3 ) d x   =   x - 3 ⋅ x 1 3 + C .

Passo 1

Para conferirmos a validade da igualdade, vamos utilizar ∫ f ( x ) d x   =   F ( x )   +   C , onde temos C representa uma constante arbitrária de integração e F ( x ) como a função primitiva de f ( x ) . Logo, é válido que d d x F ( x )   =   f ( x ) . Sendo assim, vamos derivar o lado direito com relação a x , daí

d d x [   x - 3 ⋅ x 1 3 + C ]   = d d x [ x ] - 3 ⋅ d d x [   x 1 3 ] + d d x [ C ]   = 1 - 3 ⋅ 1 3 ⋅ 1 x 2 3 +   0   = 1   - 1 x 2 3 ,

onde d d x [ C ]   =   0 , por ser a derivada de uma constante. Assim, verificamos que a igualdade do enunciado é verdadeira.

Resposta

Veja a resolução acima.