Nos Exercícios 1-8, verifique que a afirmação está correta mostrando que a derivada do lado direito é igual ao integrando do lado esquerdo.

∫ x 2 - 1 x 3 2 d x   =   2 ( x 2   +   3 ) 3 x + C .

Passo 1

A validade da igualdade pode ser verificada a partir de ∫ f ( x ) d x   =   F ( x )   +   C , onde temos C representando uma constante arbitrária de integração e F ( x ) como a função primitiva de f ( x ) , pois é válido que d d x F ( x )   =   f ( x ) . Vamos derivar o lado direito com relação a x

d d x [   2 ( x 2   +   3 ) 3 x + C ]   = 2 3 ⋅ d d x [ ( x 2   +   3 ) ] x - 1 2 + 2 3 ⋅ ( x 2   +   3 ) d d x [ x - 1 2 ] + d d x [ C ]  

⇒ 2 3 ⋅ 2 x ⋅   x - 1 2 + 2 3 ⋅ ( x 2   +   3 ) ( - 1 2 ) x - 3 2 +   0 ,

onde d d x [ C ]   =   0 , por ser a derivada de uma constante.

⇒ d d x [   2 ( x 2   +   3 ) 3 x + C ]   =   4 3 x 2 ⋅ x - 3 2   - 1 3 x 2 ⋅ x - 3 2     - 1 x - 3 2   = x 2   -   1 x 3 2 ,  

onde multiplicamos e dividimos por x no primeiro termo após a primeira igualdade.

Resposta

Veja a resolução acima.