Nos Exercícios 1-8, verifique que a afirmação está correta mostrando que a derivada do lado direito é igual ao integrando do lado esquerdo.

∫ 2 x ( x - 3 ) d x   =   4 x 3 2 ( x - 5 ) 5 + C .

Passo 1

Para conferirmos a validade da igualdade do enunciado, podemos partir do fato de que ∫ f ( x ) d x   =   F ( x )   +   C , onde temos C é uma constante de integração e F ( x ) é a função primitiva de f ( x ) , ou seja, d d x F ( x )   =   f ( x ) . Sendo assim, vamos derivar o lado direito com relação a x utilizando a regra do produto

d d x [   4 x 3 2 ( x - 5 ) 5 + C ]   = 4 5 ⋅ d d x [ x 3 2 ( x - 5 ) ] + d d x [ C ]  

⇒ 4 5 ⋅ d d x [ x 3 2 ] ( x - 5 )   + 4 5 ⋅ x 3 2 d d x [ ( x - 5 ) ]   +   0 ,

onde d d x [ C ]   =   0 por ser a derivada de uma constante. Continuando,

⇒ 4 5 ⋅ 3 2 ⋅ x 1 2 ( x - 5 )   +   4 5 ⋅ x 3 2 ⋅ 1   = 6 5 x 1 2 x   - 6 x 1 2   +   4 5 ⋅ x 1 2 x )   = 2 x 1 2 x - 6 x 1 2      

⇒ d d x [   4 x 3 2 ( x - 5 ) 5 + C ]   =   2 x ( x - 3 )

Resposta

Veja a resolução acima.