Nos Exercícios 1-8, verifique que a afirmação está correta mostrando que a derivada do lado direito é igual ao integrando do lado esquerdo.

∫ 4 x ( x 2 - 2 ) d x   =   8 x 3 2 ( 3 x 2 -   14 ) 21 + C .

Passo 1

Partimos do fato de que ∫ f ( x ) d x   =   F ( x )   +   C , onde temos C é uma constante arbitrária de integração e F ( x ) é a função primitiva de f ( x ) , uma vez que d d x F ( x )   =   f ( x ) . Para conferirmos a validade da igualdade, vamos derivar o lado direito com relação a x

d d x [   8 x 3 2 ( 3 x 2 -   14 ) 21 + C ]   = 8 21 ⋅ d d x [ x 3 2 ( 3 x 2   - 14 ) ] + d d x [ C ]  

⇒ 8 21 ⋅ d d x [ x 3 2 ] ( 3 x 2   - 14 ) + 8 21 ⋅ x 3 2 d d x [ 3 x 2   - 14 ]   +   0 ,

onde d d x [ C ]   =   0 , por ser a derivada de uma constante.

⇒ 8 21 3 2 x 1 2 ( 3 x 2   - 14 ) + 8 21 x 3 2 ⋅ 6 x = 12 7 x 1 2 x 2   - 8 x 1 2   + 16 7 ⋅ x 1 2 x 2   = 28 7 x 1 2 x 2 - 8     x 1 2    

⇒ d d x [   8 x 3 2 ( 3 x 2 -   14 ) 21 + C ]     = 4 x x 2 - 8 x   =   4 x ( x 2 - 2 ) .

Resposta

Veja a resolução acima.