Nos Exercícios 1-8, verifique que a afirmação está correta mostrando que a derivada do lado direito é igual ao integrando do lado esquerdo.

∫ ( x - 2 ) ( x + 2 ) d x   =   1 3 x 3   - 4 x + C .

Passo 1

Podemos partir da notação de que ∫ f ( x ) d x   =   F ( x )   +   C , onde temos C representando uma constante arbitrária de integração e F ( x ) como a função primitiva de f ( x ) , pois é válido que d d x F ( x )   =   f ( x ) . Sendo assim, para verificar a validade da igualdade no enunciado, basta derivar o lado direito com relação a x

d d x [     1 3 x 3   - 4 x + C ]   = 1 3 ⋅ d d x [ x 3 ] - 4 ⋅ d d x [ x ] + d d x [ C ]   =   1 3 3 x 2 - 4 + 0   =   x 2 - 4   ,

onde d d x [ C ]   =   0 , por ser a derivada de uma constante.

No entanto, podemos reescrever x 2 - 4 como sendo igual a ( x + 2 ) ( x - 2 ) , pelas propriedades de produtos notáveis. Assim,

d d x [     1 3 x 3   - 4 x + C ]     = x 2 - 4   = ( x + 2 ) ( x - 2 )   .

Resposta

Veja a resolução acima.