a. Expresse a área A da seção transversal cortada a partir do elipsoide:

x^2 + y^2 / 4 + z^2 / 9 = 1

pelo plano z = c como uma função de c . (A área de uma elipse com semieixos a e b é pi * a * b .)

b. Utilize cortes perpendiculares ao eixo z para encontrar o volume do elipsoide no item (a).

c. Encontre o volume do elipsoide

(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) + (z^2 / c^2) = 1

Sua fórmula dá o volume de uma esfera de raio a se a = b = c?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A – Temos a seguinte forma canônica

x 2 1 2 + y 2 2 2 + z 2 3 2 = 1

Agora imagine que tomamos uma seção transversal elíptica, perpendicular ao eixo z, à distância c da origem deste elipsoide, portanto, a equação da elipse resultante pode ser obtida da seguinte forma

x 2 1 2 + y 2 2 2 + z 2 3 2 = 1 → x 2 1 2 + y 2 2 2 = 1 - c 2 3 2

Manipulando um pouco mais os termos

x 2 1 - c 2 9 2 + y 2 2 1 - c 2 9 2 = 1

Agora, os “novos” semieixos são respectivamente

a = 1 - c 2 9   e   b = 2 1 - c 2 9

A partir da fórmula, a nova elipse é

A = π a b = π 1 - c 2 9 2 1 - c 2 9

Portanto,

A = 2 π 1 - c 2 9   ( 1 )

Passo 2

B - Para obter o volume, temos que multiplicar cada área de cada seção transversal pelo comprimento que leva ao longo do eixo z depois de dividir o elipsoide em seções transversais elípticas infinitas ao longo do eixo z (de -3 a 3), portanto, em linguagem matemática, o volume pode ser representado como

V = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 ∞ A z Δ z

Que pode ser escrito como

V = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 ∞ 2 π 1 - z 2 9 Δ z

Este somatório pode ser escrito como uma integral, no intervalo de - 3 a 3

V =   ∫ - 3 3 2 π 1 - z 2 9 d z

Usando a simetria do elipsoide, nós temos que

V =   2 ∫ 0 3 π 1 - z 2 9 d z

Como π é uma constante, podemos tirar da integral

V = 4 π ∫ 0 3 1 - z 2 9 d z

Esta integral agora pode ser dividida em duas, com isso, temos que

V = 4 π ∫ 0 3 d z - 4 π 9 ∫ 0 3 z 2 = 4 π z 0 3 - 4 π z 3 3 0 3

Que tem o seguinte resultado

V = 12 π - 0 - 4 π 9 27 3 - 0 = 12 π - 4 π = 8 π   u n i d a d e s   c ú b i c a s

Passo 3

C - Seja nosso elipsoide

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

Agora imagine que tomamos uma seção transversal elíptica, perpendicular ao eixo z, à distância k da origem deste elipsoide, portanto, a equação da elipse resultante pode ser obtida da seguinte forma

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 - k 2 c 2

Manipulando os termos

x 2 a 1 - k 2 c 2 2 + y 2 b 1 - k 2 c 2 2 = 1

Com isso, nós temos que

A = π a b = π a 1 - k 2 c 2 b 1 - k 2 c 2

Portanto,

A = a b π 1 - k 2 c 2

Passo 4

O termo A pode ser escrito como uma integral, no intervalo de - c a c

V =   ∫ - c c 2 a b π 1 - z 2 9 d z

Usando a simetria do elipsoide, nós temos que

V =   2 a b ∫ - c c π 1 - z 2 9 d z

Como π é uma constante, podemos tirar da integral

V = 2 a b π ∫ - c c 1 - z 2 9 d z

Esta integral agora pode ser dividida em duas, com isso, temos que

V = 2 a b π ∫ 0 c d z - 2 a b π c 2 ∫ 0 c z 2 = 2 a b π z 0 3 - 2 a b π c 2 z 3 3 0 3

Que tem o seguinte resultado

V = 2 a b c π - 0 - 2 a b π c 3 c 3 3 - 0 = 4 3 a b c π   u n i d a d e s   c ú b i c a s

Se a = b = c , nós temos V = 4 π 3 a 3 , que é o volume da esfera de raio a.

Resposta

a )   A = 2 π 1 - c 2 9

b )   V = 8 π   u n i d a d e s   c ú b i c a s

c )   V = 4 π 3 a b c

S e   a = b = c ,   n ó s   t e m o s   V = 4 π 3 a 3 ,   q u e   é   o   v o l u m e   d a   e s f e r a   d e   r a i o   a .