a. Expresse a área A da seção transversal cortada a partir do elipsoide:
pelo plano como uma função de . (A área de uma elipse com semieixos e é .)
b. Utilize cortes perpendiculares ao eixo z para encontrar o volume do elipsoide no item (a).
c. Encontre o volume do elipsoide
Sua fórmula dá o volume de uma esfera de raio a se a = b = c?
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
A – Temos a seguinte forma canônica
Agora imagine que tomamos uma seção transversal elíptica, perpendicular ao eixo z, à distância c da origem deste elipsoide, portanto, a equação da elipse resultante pode ser obtida da seguinte forma
Manipulando um pouco mais os termos
Agora, os “novos” semieixos são respectivamente
A partir da fórmula, a nova elipse é
Portanto,
Passo 2
B - Para obter o volume, temos que multiplicar cada área de cada seção transversal pelo comprimento que leva ao longo do eixo z depois de dividir o elipsoide em seções transversais elípticas infinitas ao longo do eixo z (de -3 a 3), portanto, em linguagem matemática, o volume pode ser representado como
Que pode ser escrito como
Este somatório pode ser escrito como uma integral, no intervalo de a 3
Usando a simetria do elipsoide, nós temos que
Como é uma constante, podemos tirar da integral
Esta integral agora pode ser dividida em duas, com isso, temos que
Que tem o seguinte resultado
Passo 3
C - Seja nosso elipsoide
Agora imagine que tomamos uma seção transversal elíptica, perpendicular ao eixo z, à distância k da origem deste elipsoide, portanto, a equação da elipse resultante pode ser obtida da seguinte forma
Manipulando os termos
Com isso, nós temos que
Portanto,
Passo 4
O termo pode ser escrito como uma integral, no intervalo de a
Usando a simetria do elipsoide, nós temos que
Como é uma constante, podemos tirar da integral
Esta integral agora pode ser dividida em duas, com isso, temos que
Que tem o seguinte resultado
Se , nós temos , que é o volume da esfera de raio a.