Enunciado

Expresse a integral iterada como uma integral dupla em coordenadas polares.

∫ 1 / 2 1 ∫ 1 - x ² x 1 x 2 + y ²   d y   d x

Passo 1

Olá galera! Nos deram este desafio de expressar a integral iterada dada em coordenadas cartesianas em coordenadas polares. A dica é observar os intervalos de integração e a variável de integração correspondente para encontrar a região R no plano XOY. Esboçando a região R teremos como obter a relação entre as coordenadas cartesianas e polares. Temos os seguintes intervalos: 1 2 ≤ x ≤ 1 e 1 - x ² ≤ y ≤ x . Assim, a nossa região R é

Passo 2

Vamos nesta jornada! No esboço da região procurada podemos encontrar sem dificuldades o intervalo de variação do ângulo θ , e que nesse caso é,

0 ≤ θ ≤ π 4

Passo 3

Galera, a nossa tarefa agora é determinar o intervalo onde o raio que gera esta região se situa. Como r 2 = x 2 + y ² e chamando o raio menor que descreve a curva preta de r 1 ² = 1 2 2 + y 2 = 1 2 + r 1 2 s e n 2 θ , isto implica que r 1 2 s e n 2   θ - r 1 2 = - 1 2 . Continuando teremos,

r 1 2 s e n 2 θ - 1 = - 1 2

r 1 2 - c o s 2   θ = - 1 2

r 1 2 c o s 2 θ = 1 2

r 1 cos ⁡ θ = 1 2

r 1 = 1 2 cos ⁡ θ

r 1 = 1 2 sec ⁡ θ

Galera, já estamos na posse do raio menor, r 1 = 1 2 sec ⁡ θ e do raio maior, r 2 = 1 , então o intervalo procurado é,

1 2 sec ⁡ θ ≤ r ≤ 1

Assim, a nossa resposta final é

∫ 0 π 4 ∫ 1 2 sec ⁡ θ 1 1 r ² ∙ r   d r   d θ = ∫ 0 π 4 ∫ 1 2 sec ⁡ θ 1 1 r   d r   d θ

Resposta

∫ 0 π 4 ∫ 1 2 sec ⁡ θ 1 1 r   d r   d θ

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