Expresse os vetores nos Exercícios 9-12 em termos de seus comprimentos e versores.

12. O vetor velocidade de v = (e^t * cos(t) - e^t * sen(t)) * i + (e^t * sen(t) + e^t * cos(t)) * j , quando t = ln(2) .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Substituindo t = ln ⁡ 2 , nós temos que

v ln ⁡ 2 = e ln ⁡ 2 cos ⁡ ln ⁡ 2 - e ln ⁡ 2 se n ⁡ ln ⁡ 2 i + e ln ⁡ 2 se n ⁡ ln ⁡ 2 + e ln ⁡ 2 cos ⁡ ln ⁡ 2 j

Desenvolvendo os termos, obtemos o seguinte resultado

v ln ⁡ 2 = 2 cos ⁡ ln ⁡ 2 - sen ⁡ ln ⁡ 2 i + 2 cos ⁡ ln ⁡ 2 + sen ⁡ ln ⁡ 2 j

Com isso, vamos calcular o comprimento do vetor

v ( ln ⁡ 2 ) = 2 cos ⁡ ln ⁡ 2 - sen ⁡ ln ⁡ 2 2 + cos ⁡ ln ⁡ 2 + sen ⁡ ln ⁡ 2 2

Com isso, nós temos que

v ln ⁡ 2 = 2 2

Finalmente, vamos obter o vetor unitário,

u = v v = v ln ⁡ 2 v ( ln ⁡ 2 )

Substituindo os termos

u = 2 cos ⁡ ln ⁡ 2 - sen ⁡ ln ⁡ 2 i + 2 cos ⁡ ln ⁡ 2 + sen ⁡ ln ⁡ 2 j 2 2

Resposta

v = 2 2

u = 2 cos ⁡ ln ⁡ 2 - sen ⁡ ln ⁡ 2 i + 2 cos ⁡ ln ⁡ 2 + sen ⁡ ln ⁡ 2 j 2 2