(a) Fazendo a mudança de variável x - x₀ = t e supondo que y tem uma serie de Taylor em potências de t, encontre duas soluções de

y" + (x - 1)² y' + (x² - 1) y = 0

Em série de potências de x - 1

(b) Mostre que você obtém o mesmo resultado diretamente e supondo que y e dado por uma serie de Taylor em potencias de x - 1 e expressando o coeficiente x² - 1 ern potencias de x - 1.

Passo 1

Oi galerinha! Tudo bem?

Vamos juntos resolver mais um exercício!

Todos afiados em séries de potências ?

Ótimo!

Bora lá começar então!

Vamos começar definindo uma transformada u "   (   t )   +   t ² u ' ( t ) +   ( t ²   +   2 t   ) u ( t )   = 0    

Assumindo que:

u ( t )   = ∑ n = 0 ∞ a n t n

Podemos derivar essa expressão ficando com:

u ' ( t )   = ∑ n = 1 ∞ n a n t n - 1

Derivando novamente:

u " ( t )   = ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n t n - 2

Agora vou substituir essas expressões na transformada definida no primeiro momento. Beleza!

Além disso vou também deslocar nossos índices assim ficará mais fácil na hora de escrevemos termos da série de potência.

∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 t n +   ∑ n = 2 ∞ ( n - 1 ) a n - 1 t n +   ∑ n = 2 ∞ a n - 2 t n +   ∑ n = 1 ∞ 2 a n - 1 t n = 0  

2.1 . a 2 t 0 +   3.2   a 3 +   2 a 0 t 1 + ∑ n = 2 ∞ [ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 +   n + 1 a n - 1 +   a n - 2 ] t n = 0  

Uma monstruosidade em forma de somatório!

Vamos encarar?

Bora lá então

Temos que nesta série a 2 =   0   ,   a 3 =   - a 0 / 3 logo :

a n + 2   =   - a n - 1 n + 2 - - a n - 2 n + 2 n + 1 ,   n = 0,1 , 2,3 , … .    

Nós queremos a solução em torno de a 1 = 0 .

Então podemos continuar escrever o termos da sequência como:

a 4 =   - a 0 12

a 5 =   - a 2 5 - a 1 20 = 0      

a 6 =   - a 3 6 - a 2 3 0 =   -   a 0 18 … . .

Portanto podemos afirmar que uma das soluções será:

u ' 1 t = a 0 (   1 - t 3 3 - t 4 12 - t 6 18 + … )

Assim:

y 1 x =   u 1 x - 1 =   a 0 (   1 - ( x - 1 ) 3 3 - ( x - 1 ) 4 12 - ( x - 1 ) 6 18 + … )

Agora vamos encontrar a segunda solução, para isso vou escolher a 0 = 0 . Tranquilo!

Então podemos continuar escrever o termos da sequência como:

a 4 =   - a 1 4

a 5 =   - a 2 5 - a 1 20 =     - a 1 20  

a 6 =   - a 3 6 - a 2 30 = 0

a 7 =   - a 4 7 - a 3 42 = a 1 28 … .  

Assim, uma segunda solução linearmente independente é:

u 2 t = a 1 (   t - t 4 4 - t 5 20 - t 7 2 8 + … )

Assim:

y 2 x =   a 1 [ x - 1 - x - 1 4 4 - x - 1 5 20 + x - 1 7 28 + …

Passo 2

Quase acabando desisti não!

Aplicando a série de Taylor no termo x ²   - 1 sobre x   =   1 podemos obter que:

  x   =   ( x - 1 )   +   1   =   x ²   =   ( x - 1 ) ²   +   2 ( x - 1 ) +   1

Ou seja

X ²   - 1   –   ( x - 1 ) ²   +   2 (   x - 1 )

Agora nossa linda EDO se apresenta de outra forma, como:

y "   +   (   x - 1 ) ²   +   [ ( x - 1 ) ²   +   2 ( x - 1 )   ] y   = 0  

O que é análogo a nossa transformada com t   =   x - 1 .

Ufa essa foi longa!

Te vejo na próxima questão!

Resposta

y 1 x =   u 1 x - 1 =   a 0 (   1 - ( x - 1 ) 3 3 - ( x - 1 ) 4 12 - ( x - 1 ) 6 18 + … )

y 2 x =   a 1 [ x - 1 - x - 1 4 4 - x - 1 5 20 + x - 1 7 28 + …