Um fermento cresce a uma taxa proporcional à sua quantidade inicial. Se a quantidade original duplica em duas horas, quantas horas serão necessárias para que a quantidade de fermento triplique?

Passo 1

No começo do enunciado ele nos diz que a taxa de variação é proporcional à quantidade inicial, então temos:

d Q d t = k Q

Sabendo disso, temos que desenvolver a solução com as condições iniciais do enunciado para acharmos a solução.

Passo 2

Desenvolvendo a solução por EDO separável.

1 Q d Q = k d t

∫ 1 Q d Q = k ∫ d t

l n Q + c = k t

Usando propriedades logarítmicas e b l n ( k ) = k b .

e ln ⁡ Q + c = e k t

Q e c = e k t

Q = e - c e k t

Substituindo a constante afim de simplificar e - c = c .

V = c e k t

Agora, o que precisamos é aplicar as condições iniciais do enunciado.

Em t = 0 , Q = Q 0

Q 0 = c e 0

c = Q 0

Em t = 2 , Q = 2 Q 0

2 V 0 = c e 2 k

2 Q 0 = Q 0 e 2 k

ln ⁡ 2 = 2 k

k = 0,346

Pronto!! Já temos a função que vamos achar o tempo necessário.

Q t = Q 0 e 0,346 t

Passo 3

O enunciado nos pede que Q = 3 Q 0 .

3 Q 0 = Q 0 e 0,346 t

ln ⁡ 3 = 0,346 t

            t = 3,17   h o r a s

Resposta

            t = 3,17   h o r a s