A Figura 1 mostra um sólido cuja seção transversal horizontal à altura y é um círculo de raio (1 + y)^(-2) , para 0 ≤ y ≤ H . Encontre o volume do sólido.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A área de cada seção horizontal é dada por

A y = π r 2

Como o termo r já foi gerado, nós temos que

A y = π 1 + y - 2 2 = π 1 + y - 4

Portanto, este é o valor que vai ser integrado, logo

V = π ∫ 0 H 1 + y - 4     d y  

Para calcular esta integral, vamos usar o método da substituição

u = 1 + y ;     d y = d u

Logo, nós obtemos que

V = π ∫ u - 4   d u = - π 3 u - 3

Voltando a expressão original,

V = - π 3 1 + y - 3

Passo 2

Calculando esta integral, nós temos que

V =   - π 3 1 + y - 3 0 H

Desenvolvendo este termo,

V = - π 3 1 + H - 3 - 1

Trocando os sinais

V = π 3 1 - 1 + H - 3 = π 3 1 - 1 1 + H 3

Resposta

V = π 3 1 - 1 1 + H 3