A figura a seguir mostra o gráfico da reta 3x + 4y = 25 e as curvas de nível de altura c = 9, 16, 25, 36, e 49 para a função f(x, y) = x^2 + y^2 .

(a) Use a figura para encontrar o valor mínimo da função f(x, y) = x^2 + y^2 sujeita à restrição 3x + 4y = 25 e explique seu raciocínio.

(b) Como podemos dizer, a partir da figura, que a resposta em (a) não é o valor mínimo de f sujeita à restrição? 49 36 25 16 9

(c) Use multiplicadores de Lagrange para verificar seu trabalho.

Passo 1

Fala galera, vamos começar mais uma questão.

Letra (a) pede para usar a figura para encontrar o valor máximo da função f   ( x ,   y )   =   x 2   +   y 2 sujeita à restrição 3 x   +   4 y   =   25 e pede para explicar o nosso raciocínio.

A figura apresenta as curvas sujeiras à restrição e a reta da função. O ponto onde essa reta tangencia alguma dessas curvas é considerado o valor máximo da função, assim nosso valor máximo corresponde a 25.

Passo 2

Agora vamos para a letra (b) Como podemos dizer, analisando a figura, que a resposta em (a) não é o valor mínimo de f sujeita à restrição?

O menor valor para a função de um círculo ocorre no menor raio, ou seja, quando c = 9 , e a reta não tangencia essa curva.

Passo 3

Letra (c) Vamos aos cálculos usando os multiplicadores de Lagrange.

g x , y = 3 x   +   4 y -   25     = 0

∇ g = ∂ g ∂ x i +   ∂ g ∂ y j = 3 i + 4 j

f x ,   y =   x 2   +   y 2

∇ f = ∂ f ∂ x i +   ∂ f ∂ y j = x i + y j

Fazendo as substituições em:

  ∇ f   ( x , y 0 )   =   λ ∇ g ( x , y )

x i + y j = 3 λ i + 4 λ j

O que equivale a:

x = 3 λ → λ = x 3

y = 4 λ → λ = y 4

Igualando λ

λ = λ

x 3 = y 4   → x = 3 y 4

Substituindo x em g x , y , temos:

g 3 y 4 , y = 3   3 y 4 +   4 y -   25     = 0 → y = 4

x = 3 * 4 4 = 3

  ( 3,4 )

Logo:

f x ,   y =   x 2   +   y 2

f 3,4 =   3 2   +   4 2 = 25

Assim chegamos que os valores máximos igual a 25 no ponto 3,4 .

Resposta

a ) 25