A figura a seguir mostra o gráfico da reta x + y = 4 e as curvas de nível de altura c = 2, 4, 6 e 8 para a função f(x, y) = x * y .

(a) Use a figura para encontrar o valor máximo da função f(x, y) = xy sujeita à restrição x + y = 4 e explique seu raciocínio.

(b) Como podemos dizer, a partir da figura, que a resposta em (a) não é o valor mínimo de f sujeita à restrição?

(c) Use multiplicadores de Lagrange para verificar seu trabalho.

Passo 1

Fala galera, vamos começar mais uma questão.

Letra (a) pede para usar a figura para encontrar o valor máximo da função f   ( x ,   y )   =   x y sujeita à restrição x   +   y   =   4 e pede para explicar o nosso raciocínio.

A figura apresenta as curvas sujeiras à restrição e a reta da função. O ponto onde essa reta tangencia alguma dessas curvas é considerado o valor máximo da função, assim nosso valor máximo ocorrem no ponto (2,2), ponto em vermelho, e corresponde ao valor de 4.

Passo 2

Agora vamos para a letra (b) Como podemos dizer, analisando a figura, que a resposta em (a) não é o valor mínimo de f sujeita à restrição?

Observando as curvas, reparem que a primeira curva passa pelos pontos (2,1) e (1,2), esses são nossos menores pontos, eles que resultam em x y = 2 que é o nosso valor mínimo.

Passo 3

Letra (c) Vamos aos cálculos usando os multiplicadores de Lagrange.

g x , y = x   +   y -   4 = 0

∇ g = ∂ g ∂ x i +   ∂ g ∂ y j = 1 i + 1 j

f x ,   y =   x y

∇ f = ∂ f ∂ x i +   ∂ f ∂ y j = y i + x j

Fazendo as substituições em:

  ∇ f   ( x , y 0 )   =   λ ∇ g ( x , y )

y i + x j = λ i + λ j

O que equivale a:

y = λ

x = λ  

Igualando λ

λ = λ

y = x  

Substituindo x em g x , y , temos:

g x , x = x + x -   4 = 0 → x = 2

  ( 2,2 )

Logo:

f x ,   y =   x y

f 2,2 =   4

Assim chegamos que os valores máximos igual a 4 no ponto ( 2,2 ) .

Resposta

a ) 4