Na figura a seguir, D é o ponto médio do lado AB do triângulo ABC, e E está a um terço do trajeto entre C e B. Utilize vetores para provar que F é o ponto médio do segmento de reta CD.

Passo 1

Como é que vai galera? Tudo bem?

Para mostrar F é o ponto médio do segmento de reta CD, temos que mostrar que C F → = F D → , ou seja, F está exatamente a meio caminho entre C e D. O truque para responder essa questão é mostrar que C F → = F D → = C D → .

Como D é ponto médio de AB, então

C D → = 1 2 ( C A → + C B → ) = 1 2 ( - A C → + C B → )

Como E está a um terço do trajeto entre C e B, então

C E → = 1 2 E B → = 1 3 C B →

Passo 2

Agora, temos que tentar escrever C F → como soma de vetores

C F → = C A → + A F → = - A C → + A F →

Mas

A F → = α A E → = α ( A C → + C E → )

Então,

C F → = - A C → + α ( A C → + C E → ) = ( α - 1 ) A C → + α C E →

Só falta lembrar que C E → = 1 3 C B → , ou seja,

C F → = ( α - 1 ) A C → + α 3 C B →

Passo 3

Por outro lado, também podemos escrever o vetor C F → = β C D → . Lembrando que C D → = 1 2 ( C A → + C B → ) , temos

C F → = β C D → = β 2 ( - A C → + C B → )

Agora, vamos igualar as duas expressões para C F → :

β 2 ( - A C → + C B → ) = ( α - 1 ) A C → + α 3 C B →

⇒ ( - β 2 - α + 1 ) A C → = α 3 - β 2 C B →

Como os vetores A C → e C B → são diferentes, a equação acima só é válida se

α 3 - β 2 = 0 ⇒ α = 3 β 2

- β 2 - α + 1 = 0 ⇒ β 2 + 3 β 2 - 1 = 0 ⇒ β = 1 2

⇒ α = 3 4

Passo 4

Assim,

C F → = β 2 ( - A C → + C B → ) = 1 4 ( - A C → + C B → ) = 1 2 C D →

que já é o que a gente queria provar. Temos C F → = F D → porque

C D → = C F → + F D → ⇒ F D → = C D → - C F → = C D → - 1 2 C D → = 1 2 C D →

Então, mostramos por meio de vetores que F é ponto médio de CD. Gostou? Responde Aí!

Resposta

Veja a resolução acima.