Fluxo de fluído. As linhas de corrente associadas a certo fluxo de fluído são representadas pela família de curvas . Os potenciais de velocidade do fluxo são apenas as trajetórias ortogonais dessa família.
(a) Use o método descrito no problema 32 dos exercícios da Seção 2.4 para mostrar que os potenciais de velocidade satisfazem a .
[Dica: expresse primeiro a família na forma .]
(b) Encontre os potenciais de velocidade resolvendo a equação obtida no item (a).
Passo 1
Falaaa, meu querido/minha querida!!! Tudo bem??
Nesta equação, como o enunciado mesmo nos deu a dica, vamos isolar na primeira equação e depois calcularmos as derivadas parciais de . Assim, podemos aplicar em uma equação diferencial e ver se realmente satisfaz a EDO da letra (a).
Na letra (b) vamos achar a solução da equação diferencial da letra (a). Vamos nessa!!!
Passo 2
Isolando para encontrar .
Encontrando as derivadas parciais de . Em relação a :
Em relação a :
Substituindo na fórmula da EDO:
Cortando o e trocando o sinal do segundo termo.
Portanto, os potenciais de velocidade satisfazem a EDO da letra (a).
Passo 3
Vamos encontrar a solução da EDO.
Temos uma EDO linear de primeira ordem. Vamos encontrar o fator integrante.
Multiplicando todos os termos pelo fator integrante.
Pela regra da cadeira . Onde:
Substituindo:
Passando a derivada para o outro lado como uma integral.
Resposta
- Os potencias satisfazem a EDO.