Fluxo de fluído. As linhas de corrente associadas a certo fluxo de fluído são representadas pela família de curvas y = x - 1 + k * e^(-x) . Os potenciais de velocidade do fluxo são apenas as trajetórias ortogonais dessa família.

(a) Use o método descrito no problema 32 dos exercícios da Seção 2.4 para mostrar que os potenciais de velocidade satisfazem a d x + (x - y) d y = 0 .

[Dica: expresse primeiro a família y = x - 1 + k * e^(-x) na forma F(x, y) = k .]

(b) Encontre os potenciais de velocidade resolvendo a equação obtida no item (a).

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida!!! Tudo bem??

Nesta equação, como o enunciado mesmo nos deu a dica, vamos isolar k na primeira equação e depois calcularmos as derivadas parciais de F ( x , y ) . Assim, podemos aplicar em uma equação diferencial e ver se realmente satisfaz a EDO da letra (a).

Na letra (b) vamos achar a solução da equação diferencial da letra (a). Vamos nessa!!!

Passo 2

Isolando k para encontrar F ( x , y ) .

y = x - 1 + k e - x

k e - x = y - x + 1

k = y - x + 1 e x

k = F ( x , y )

Encontrando as derivadas parciais de F ( x , y ) . Em relação a x :

∂ F ∂ x = - e x + e x y - x + 1

∂ F ∂ x = e x ( y - x )

Em relação a y :

∂ F ∂ y = e x

Substituindo na fórmula da EDO:

∂ F ∂ y d x - ∂ F ∂ x d y = 0

e x d x - e x y - x d y = 0

Cortando o e x e trocando o sinal do segundo termo.

d x + x - y d y = 0

Portanto, os potenciais de velocidade satisfazem a EDO da letra (a).

Passo 3

Vamos encontrar a solução da EDO.

d x + x - y d y = 0

d x d y = - x + y

d x d y + x = y

Temos uma EDO linear de primeira ordem. Vamos encontrar o fator integrante.

I y = e ∫ p ( y ) d y

I y = e ∫ 1 d y

I y = e y

Multiplicando todos os termos pelo fator integrante.

e y d x d y + e y x = e y y

Pela regra da cadeira f g ' = f g ' + f ' g . Onde:

f = e y                                   g = x

f ' = e y                                 g ' = x '

Substituindo:

e y x ' = e y y

Passando a derivada para o outro lado como uma integral.

e y x = ∫ e y y d y

e y x = y e y - e y + c 1

x = y - 1 + c 1 e - y

Resposta

  1. Os potencias satisfazem a EDO.
  2. x = y - 1 + c 1 e - y