Enunciado

Uma força de 400N distende uma mola em 2m. Uma massa de 50Kg é opressa na extremidade de uma mola e é incialmente solta da posição de equilíbrio a uma velocidade 10 m s para cima. Ache a equação do movimento.

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Seguinte, temos quw considerar primeiro que:

F = k ( Δ x - x )

400 = k 2 - 0

k = 200 N m

Passo 2

Assim podemos ir para nossa equação onde:

- k x = m a

Tomando a = x ' '

m x ' ' + k x = 0

x ' ' + 200 50 x = 0

x ' ' + 4 x = 0

Passo 3

Fazendo x = e λ t ; x ' ' = λ 2 e λ t

e λ t λ 2 + 4 = 0

λ = ± i 2  

Logo:

x t = c 1 e + i 2 t + c 2 e - i 2 t

x t = c 1 cos ⁡ 2 t + s e n 2 t + c 2 ( cos ⁡ 2 t - s e n 2 t )

x t = c 1 + c 2 cos ⁡ 2 t + i c 1 - c 2 s e n 2 t

Chamando a = c 1 + c 2   e   b = i c 1 - c 2

x t = acos ⁡ 2 t + b s e n 2 t

Basta-nos definir quem são os valores a   e   b , para isso tomemos as condições inicias dadas no anuncio. Veja:

  1. Se é solta da posição inicial, logo em x 0 = 0
  2. Se parte com velocidade para cima, logo x ' 0 = - 10 m s

Assim:

x 0 = 0 = a

x ' 0 = - 10 = 2 b → b = - 5

Logo temos que resposta para a = 0   e   b = - 5

Resposta

x t = - 5 s e n 2 t

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