Enunciado

Uma força de 2   N distende uma mola em 1   m . Um peso de 0,1   k g é atado à mola e o sistema é então imerso em um meio que oferece uma força de amortecimento numericamente igual a 0,4 vez a velocidade instantânea.

(a) Encontre a equação de movimento se o peso é solto a partir do repouso 1   m acima da posição de equilíbrio.

(b) Expresse a equação de movimento na forma dada em (15).

(c) Quando o peso cruza pela primeira vez a posição de equilíbrio se dirigindo para cima?

Passo 1

Falaaa, vamos lá?

(a) Nesse item, temos que montar o nosso problema de valor inicial

Para isso, vamos lembrar do modelo de um sistema massa mola amortecido:

m d 2 x d t 2 + β d x d t + k x = 0

No nosso caso, temos m = 0,1   k g , e como “um meio que oferece uma força de amortecimento numericamente igual a 0,4 vez a velocidade instantânea”, temos β = 0,4 . Agora vamos encontrar a constante k usando a informação de que “Uma força de 2   N distende uma mola em 1   m ”, ou seja: k = 2   N 1   m = 2   N / m . Então:

0.1 d 2 x d t 2 + 0.4 d x d t + 2 x = 0

O enunciado também fala que “o peso é solto a partir do repouso 1   m acima da posição de equilíbrio”

Então temos:

x 0 = - 1

x ' 0 = 0

Agora precisamos resolver esse PVI ta bom?

Passo 2

(a) Temos:

0.1 d 2 x d t 2 + 0.4 d x d t + 2 x = 0

x 0 = - 1

x ' 0 = 0

Isso aí é uma equação diferencial linear de segunda ordem, que tem como solução geral:

x = c 1 . e - 2 t . s e n 4 t + c 2 . e - 2 t . cos ⁡ 4 t

Aplicando as condições iniciais, encontramos

c 1 = - 1 2

c 2 = - 1

Então, nossa solução é

x = - 1 2 . e - 2 t . s e n 4 t - e - 2 t . cos ⁡ 4 t

Passo 3

(b) Agora queremos escrever a equação que encontramos na letra (a) no formato da equação (15) do seu livro, fechou?

Temos

x ( t ) = - 1 2 . e - 2 t . s e n 4 t - e - 2 t . cos ⁡ 4 t

A equação (15) do seu livro é assim olha:

x t = A . e - λ t . s e n ω 2 - λ 2 t + ϕ

E aí, vamos ter:

A = - 1 2 2 + ( - 1 ) ² = 5 4 = 5 2

Pelo nosso x ( t ) , também temos ω 2 - λ 2 = 4 (é o que multiplica o argumento do seno e cosseno) e a fase ϕ vai ser dada por:

cos ⁡ ϕ = c 2 A = - 1 5 2 = - 2 5

ϕ = arccos ⁡ - 2 5

ϕ = 2,677   r a d

Então:

x t = 5 2 . e - 2 t . s e n 4 t + 2,677

Passo 4

(c) Por fim, vamos encontrar quando o peso cruza pela primeira vez a posição de equilíbrio se dirigindo para cima

Temos

x t = 5 2 . e - 2 t . s e n 4 t + 2,677

Vamos fazer x = 0 :

5 2 . e - 2 t . s e n 4 t + 2,677 = 0

s e n 4 t + 2,677 = 0

4 t + 2,677 = 2 π

(não consideramos o π pois ali o peso está se dirigindo para baixo)

4 t = 2 π - 2,677

t = 0,901   s

Ufa, acabamossss

Resposta

a) x = - 1 2 . e - 2 t . s e n 4 t - e - 2 t . cos ⁡ 4 t

b) x t = 5 2 . e - 2 t . s e n 4 t + 2,677

c) t = 0,901   s

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