Uma força externa F(t) = 2 * cos(2t) é aplicada a um sistema do tipo massa-mola com m = 1 , b = 0 e k = 4 , que está de início em repouso; ou seja, y(0) = 0 , y'|0 = 0 . Verifique que y(t) = 1 / 2 t sen 2t indica o movimento dessa mola. O que acontecerá por fim (à medida que t aumenta) com a mola?

Passo 1

Faaalaa, belezaaa?? Neste exercício vamos derivar a função duas vezes e aplicar os valores na EDO que o enunciado nos descreveu.

Aqui abaixo está a equação diferencial que vamos aplicar os valores:

m y ' ' + b y ' + k y = F e x t ( t )

y ' ' + 4 y = 2 cos ⁡ 2 t

E está é a suposta solução:

y = 1 2 t   s e n   2 t

Passo 2

Derivando a solução.

y = 1 2 t   s e n   2 t

y ' = 1 2 s e n   2 t + t c o s   2 t

y ' ' = 2 cos ⁡ 2 t - 2 t   s e n   2 t

Aplicando na EDO.

2 cos ⁡ 2 t - 2 t   s e n   2 t + 4 1 2 t   s e n   2 t = 2 cos ⁡ 2 t

2 cos ⁡ 2 t = 2 cos ⁡ 2 t

0 = 0

Como zeramos a equação diferencial, provamos que a função realmente é solução da EDO.

Passo 3

Quando t aumenta o movimento da mola também aumentará. Sendo assim, se o t continuar aumentando chegará uma hora que o movimento será tão violento que a mola irá quebrar.

Resposta

Resolução nos passos anteriores.