Responde Aí

Enunciado

Uma força de 2 libras distende uma mola em 1 pé. Com uma extremidade fixa, uma massa pesando 8 libras é presa na outra extremidade. O sistema está sobre uma mesa que oferece uma força de atrito numericamente igual a 3 2 da velocidade instantânea. Inicialmente, a massa está deslocada 4 polegadas acima da posição de equilíbrio e pé solta do repouso. Ache a equação do movimento considerando que o movimento ocorrerá em ao longo de uma reta horizontal tomada como eixo x

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Temos que:

2 = 1 k → k = 2 l i b r a s p é  

Então temos a nossa EDO:

x ' ' 3 16 x ' + 2 8   x = 0

Façamos 3 16 = β ;     2 8 = ω 0 2

x ' ' + β x ' + ω 0 2 x = 0

Passo 2

Façamos x = e λ t ;     x ' = λ e λ t ;     x ' ' = λ 2 e λ t

e λ t λ 2 + β λ + ω 0 2 = 0

λ 2 + β λ + ω 0 2 = 0

λ =   - β 2 ± β 2 2 - ω 0 2

Lembrando 3 16 = β ;   1 4 = ω 0 2

λ = - 3 32 ± 3 32 2 - 1 4

Veja que:

3 32 2 - 1 4 < 0

Logo λ ∈ C

Assim:

λ = - β 2 ± i ω 0 2 - β 2 2

Façamos ω = ω 0 2 - β 2 2

λ = - β 2 ± i ω

Façamos λ + = - β 2 + i ω ;     λ - = - β 2 - i ω

A solução é:

x t = c 1 e t - β 2 + i ω + c 2 e - t β 2 + i ω

x t = e - β 2   t c 1 e i ω t + c 2 e - i ω t

Passo 3

Para ( c 1 e i ω t   + c 2 e - i ω t ) :

usemos a relação de Euler- De Moivre: e i π = cos ⁡ π + i s e n π . Assim:

cos ⁡ ω t + i   s e n ω t + c 2 cos ⁡ ω t - i   s e n ω t

c 1 + c 2 cos ⁡ ω t + i c 1 - c 2 s e n ω t  

Fazendo c 1 + c 2 = a ;       i ( c 1 - c 2 ) = b

a cos ⁡ ω t + b   s e n ω t

Onde a e b são definidos pelas condições iniciais:

x 0 = - 4 = a

x ' 0 = 0

Logo:

- 4 cos ⁡ ω t

Assim, retornando à nossa equação temos:

x t = e   - β 2 t   ( - 4 cos ⁡ ω t

Relembrando ω = ω 0 2 - β 2 2 = 1 4 - 3 32 2

E β = 3 16

x t = - 4   e - 3 32 t cos ⁡ 1 4 - 3 32 2     t

Resposta

x t = - 4   e - 3 32 t cos ⁡ 1 4 - 3 32 2     t