Enunciado

Uma força de 2 libras distende uma mola em 1 pé. Uma massa de 3,2 libras é presa a uma mola e o sistema é então imerso em um meio que oferece uma força de amortecimento numericamente igual a 0,4 multiplicado pela velocidade instantânea.

  1. Encontre a equação do movimento admitindo que a massa seja inicialmente solta do repouso a partir do ponto 1 pé acima da posição de equilíbrio.
  2. Escreva a equação do movimento na forma dada me (23)
  3. Ache a primeira vez que a massa cruza a posição de equilíbrio dirigindo-se para cima.

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Temos que:

2 = k  

Temos emntão:

x ' ' + 0,4 3,2   x ' + 2 3,2 x = 0

Façamos:     2 3,2 = ω 0 2 ;     0,4 3,2 = β

x ' ' + β x ' + ω 0 2 x = 0

Passo 2

Fazendo x = e λ t ;     λ e λ t ;     x ' ' = λ 2 e λ t

Assim:

e λ t λ 2 + β λ + ω 0 2 = 0

λ 2 + β λ + ω 0 2 = 0

λ = - β 2 ± β 2 2 - ω 0 2

Lembrando: :   2 3,2 = ω 0 2 ;     0,4 3,2 = β

Vemos logo que λ ∈ C

Logo:

λ = -   β 2 ± i ω 0 2 - β 2 2

Fazendo ω = ω 0 2 - β 2 2

λ = -   β 2 ± i ω

Passo 3

Assim:

x h t = c 1 e - β 2 + i ω t + c 2 e - t β 2 + i ω

x h t = e - β t 2 c 1 e i   ω t + c 2 e - i   ω t

x h t = e - β t 2 c 1 cos ⁡ ω t + i s e n ω t + c 2 cos ⁡ ω t - i s e n ω t

x h t = e -     β t 2 c 1 + c 2 cos ⁡ ω t + i c 1 - c 2 s e n ω t

Fazendo a = c 1 + c 2 ;     b = i c 1 - c 2 .

x h t = e -   β t 2 ( a cos ⁡ ω t + b   s e n ( ω t ) )  

P

ara: a cos ⁡ ω t + b   s e n ω t ,     encontraremos os valores de A e B pelas condições iniciais. Veja:

  1. É dito que a massa é solta de um ponto 1 pé acima da posição de equilíbrio, logo x 0 = - 1
  2. É também dito que a massa é solta do repouso, logo x ' 0 = 0

Assim:

x 0 = - 1 = a

x ' 0 = 0 = b ω → b = 0

Logo:

x h t = e -   β t 2 ( - 1 cos ⁡ ω t + - 0   s e n ( ω t ) )  

Lembrando ω = ω 0 2 - β 2 2 ;   ω 0 2 = 2 3,2 ;       β = 0,4 3,2

x h t = e -   t 16 ( - 1 cos ⁡ 2 3,2 - 1 16 2         t + - 0   s e n ( 2 3,2 - 1 16 2 t ) )  

Resposta

  1. x h t = e -   t 16 ( - 1 cos ⁡ 2 3,2 - 1 16 2         t + - 0   s e n ( 2 3,2 - 1 16 2 t ) )  

  2. A
  3. x h t = e -   t 16   cos ⁡ 2 3,2 - 1 16 2 t

  4. É quando x h t = 0 , o que necessariamente implica cos ⁡ 2 3,2 - 1 16 2 t = π 2

cos ⁡ 2 3,2 - 1 16 2 t = π 2

2 3,2 - 1 16 2 t = cos - 1 ⁡ π 2

t = 1 2 3,2 - 1 16 2 ( cos - 1 ⁡ π 2

t = 0

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