Uma função , contínua em , admite segunda derivada em todo ponto do intervalo .O segmento de reta que une intercepta o gráfico de num ponto , sendo . Provar que para pelo menos um ponto em
Passo 1
Bom, nessa questão é válido entendermos aonde estamos na matéria do livro, as questões anteriores trataram de teoremas que usam raízes/zeros, inclinação e coisas do gênero, ou seja, é válido pensarmos em tentar criar uma nova função, que envolva que possui características como ter seus zeros em pontos do enunciado, o que quero dizer é:
Como é a equação que liga os pontos citados. Além disso g intercepta f em a, b e c.
Então:
Ou seja, temos que:
Passo 2
Agora aparece algo que podemos usar um teorema conhecido, nesse caso o teorema de Rolle.
Primeiro vamos usar o teorema de Rolle para um
Pelo teorema, como sabemos que existe um tal que:
Podemos fazer o mesmo para um
Com
Passo 3
Agora, como temos outra vez podemos aplicar outra vez o mesmo teorema:
Pelo teorema, afirmamos que existe um t tal que
Temos que:
Porém pois é a equação de uma reta, então:
Como já concluímos que existe um t tal que , portanto
Então
Resposta
Demonstração