Uma função f , contínua em [a, b] , admite segunda derivada f'' em todo ponto do intervalo (a, b) .O segmento de reta que une (a, f(a)) e (b, f(b)) intercepta o gráfico de f num ponto (c, f|c) , sendo a < c < b . Provar que f''(t) = 0 para pelo menos um ponto t em (a, b).

Passo 1

Bom, nessa questão é válido entendermos aonde estamos na matéria do livro, as questões anteriores trataram de teoremas que usam raízes/zeros, inclinação e coisas do gênero, ou seja, é válido pensarmos em tentar criar uma nova função, que envolva f que possui características como ter seus zeros em pontos do enunciado, o que quero dizer é:

T o m a n d o   g x   a   e q u a ç ã o   q u e   l i g a   a , f a   e   b , f b ,   d e f i n i r e m o s   h   c o m o :

h x = f x - g ( x )

Como g   é a equação que liga os pontos citados. Além disso g intercepta f em a, b e c.

Então:

f a = g a ,     f b = g b ,     f c = g c

Ou seja, temos que:

h a = h b = h c = 0

Passo 2

Agora aparece algo que podemos usar um teorema conhecido, nesse caso o teorema de Rolle.

Primeiro vamos usar o teorema de Rolle para um c 1 ∈ a , c :

Pelo teorema, como h a = h ( c ) sabemos que existe um c 1 tal que:

h ' c 1 = 0

Podemos fazer o mesmo para um c 2   ∈ c , b ,     p o i s   h c = h b ,   c o n c l u i n d o   q u e : h ' c 2 = 0

Com a < c 1 < c < c 2 < b

Passo 3

Agora, como temos outra vez h ' c 1 = h ' c 2 podemos aplicar outra vez o mesmo teorema:

Pelo teorema, afirmamos que existe um t ∈ ( c 1 , c 2 ) tal que h ' ' t = 0

Temos que:

h x = f x + g x

h ' x = f ' x + g ' x

h ' ' x = f ' ' x + g ' ' ( x )

Porém g ' ' x = 0 ,   pois é a equação de uma reta, então:

h ' ' x = f ' ' x

Como já concluímos que existe um t tal que h ' ' t = 0 ,   s e n d o   t   ∈ ( c 1 , c 2 ) , portanto t   ∈ ( a , b )

Então f ' ' t = h ' ' t = 0 ,   p a r a   t   ∈ ( a , b )  

Resposta

Demonstração