13. A função f : R → R dada por

f x = x 10 sin ⁡ 1 x       s e         x ≠ 0   0         s e         x = 0

Pode ser solução de alguma EDO do tipo

y ' ' + p x y ' + q x y = 0

Com p e q continuas em R ? Por quê?

Sugestão: Veja Exercício 12.

Passo 1

No exercício anterior, provamos que se f x assume 0 infinitas vezes em um intervalo a ,   b ⊂ I , onde I é o intervalo de definição da solução (no caso todo o real), então podemos falar que a única solução admissível é a solução nula:

f x = 0

Repare que a nossa função f x é contínua no x = 0 , afinal...

lim x → 0 ⁡ x 10 sin ⁡ 1 x = 0

Ao mesmo tempo em que essa função, se anula infinitas vezes quanto mais próximo estamos do 0 , por causa da função seno:

sin ⁡ 1 x

Então, se admitirmos um intervalo:

0 , x n ⊂ 0 , x n - 1 ⊂ … ⊂ 0 ,   1 ⊂ I

De modo que x n sempre pode ser o menor possível, f x , se anulará infinitas vezes de modo que em algum momento...

f x n = f ' x n = 0

Provando que a função não pode ser solução de nenhuma EDO.

Resposta

Questão de demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro