A função f é delimitada do modo seguinte:

f(x) = { x^2 a x + b, se x ≤ c s e x > c } (a, b, c constantes)

Achar os valores de a e b (em função de c) de modo que f'(c) exista.

Passo 1

Se liga!

Aqui temos uma função definida por 2 condições. Como queremos os valores de a e b para que esta função seja contínua em toda a parte, precisamos verificar algumas coisinhas:

Os limites laterais, no valor de x que a função muda, precisam ser iguais para função ser contínua. Vai ficar mais fácil de visualizar conforme a gente for fazendo!

Passo 2

Podemos começar pensando que uma das necessidades para esta função ser contínua é

x 2   = c 2

E

a x + b = a c + b  

Como o limite dos dois lados deve obrigatoriamente ser o mesmo, nós obtemos a seguinte equação:

a c + b = c 2

Passo 3

Como o enunciado pede que exista a derivada f ' ( c ) então nós vamos repetir o mesmo processo

f x = { 2 x   a           s e   x   ≤   c s e   x > c  

Então

2 x = 2 c  

E

a = a  

Como o limite dos dois lados deve obrigatoriamente ser o mesmo, nós obtemos a seguinte equação:

2 c = a

Passo 4

Como nós já descobrimos o valor de a, basta substituir na equação no passo 2 para determinar b

a c + b = c 2       →       2 c c + b = c 2       →       b = - c 2

E... prontinho, desvendamos esse mistéeeerio a = 2 c e b = - c 2

Resposta

a = 2 c             e               b = - c 2