A função f é delimitada do modo seguinte:

f(x) = { 1 / |x| a + b * x^2, s.e. |x| > c; s.e. |x| ≤ c }

Achar os valores de a e b (em função de c) de modo que f'(c) exista.

Passo 1

Se liga!

Aqui temos uma função definida por 2 condições, com o detalhe de que na primeira condição x não pode ser zero, ou seja, temos 3 condições.

Como queremos os valores de a e b para que esta função seja contínua em toda a parte, precisamos verificar algumas coisinhas:

Os limites laterais, no valor de x que a função muda, precisam ser iguais para função ser contínua. Vai ficar mais fácil de visualizar conforme a gente for fazendo!

Passo 2

Podemos começar pensando que uma das necessidades para esta função ser contínua é

1 | x |   = - 1 c       o u     1 c

ou

a + b x 2 = a + b c 2  

a + b c 2 = - 1 c

Passo 3

Como o enunciado pede que exista a derivada f ' ( c ) então nós vamos repetir o mesmo processo

f ' x = { - 1 x 2                     s e   x > c   1 x 2                             s e   x < c   2 b x                             s e   | x | ≤ c      

Então

- 1 x 2 = - 1 c 2  

E

2 b x   = 2 c b  

Como o limite dos dois lados deve obrigatoriamente ser o mesmo, nós obtemos a seguinte equação:

- 1 c 2 = 2 c b       →       b = - 1 2 c 3

Passo 4

Como nós já descobrimos o valor de a, basta substituir na equação no passo 2 para determinar b

a + - 1 2 c 3 c 2 = - 1 c     →       a = 3 2 c

E... prontinho, desvendamos esse mistéeeerio a = 3 2 c e b = - 1 2 c 3

Resposta

a = 3 2 c             e               b = - 1 2 c 3