A função f é delimitada do modo seguinte:

f(x) = { sen(x) + b, sen(x) ≤ c; sen(x) > c }

Achar os valores de a e b (em função de c) de modo que f'(c) exista.

Passo 1

Se liga!

Aqui temos uma função definida por 2 condições.

Como queremos os valores de a e b para que esta função seja contínua em toda a parte, precisamos verificar algumas coisinhas:

Os limites laterais, no valor de x que a função muda, precisam ser iguais para função ser contínua. Vai ficar mais fácil de visualizar conforme a gente for fazendo!

Passo 2

Podemos começar pensando que uma das necessidades para esta função ser contínua é

s e n   x   = s e n   c

ou

a x + b = a c + b  

Logo, igualando:

a c + b = s e n   c

Passo 3

Como o enunciado pede que exista a derivada f ' ( c ) então nós vamos repetir o mesmo processo

f ' x = { c o s c o s   x               x ≤   c   a                             x > c    

Então

c o s c o s   x   = c o s c o s   c    

E

a   = a  

Como o limite dos dois lados deve obrigatoriamente ser o mesmo, nós obtemos a seguinte equação:

a = c o s c o s   c  

Passo 4

Como nós já descobrimos o valor de a, basta substituir na equação no passo 2 para determinar b

( c o s c o s   c   ) c + b = s e n   c

E... prontinho, desvendamos esse mistéeeerio   a = c o s c o s   c   e b = s e n   c - ( c o s c o s   c   ) c

Resposta

a = c o s c o s   c               e               b = s e n   c - ( c o s c o s   c   ) c