Uma função f e suas derivadas das duas primeiras ordens foram tabuladas como se indica a seguir. Sendo g(x) = x * f(x^2) construir uma tabela para g e suas derivadas das duas primeiras ordens, para x = 0, 1,2

Passo 1

Bom. Para começar a questão vamos logo calcular g ' x e   g ' ' x , pois como se pede uma tabela igual, temos que ter a lei de formação para suprir nossas necessidades.

Passo 2

Vamos utilizar a regra da cadeia e do produto para determinar as derivadas de g .

g x = x f x 2

g ' x = x ' f x 2 + x ( f x 2 ) '

g ' x = f x 2 + x ( f ' x 2 2 x )

Agora vamos derivar novamente para achar a segunda derivada.

g ' ' x = f x 2 ' + 2 x 2 f ' x 2 '

g ' ' x = f ' x 2 2 x + 2 x 2 ' f ' x 2 + f ' x 2 ' x 2

g ' ' x = f ' x 2 2 x + 2 2 x f ' x 2 + 2 x 3 f ' ' x 2

g ' ' x = 6 x f ' x 2 + 4 x 3 f ' ' x 2

Passo 3

Agora temos tudo que precisamos, vamos calcular os valores pedidos.

g 0 = 0 f 0 = 0

g 1 = f 1 = 1

g 2 = 2 f 4 = 12

g ' 0 = f 0 2 + 0 = 0

g ' 1 = f 1 + 1 f ' 1 2 = 1 + 2 = 3

g ' 2 = f 4 + 2 f ' 4 4 = 6 + 24 = 30

g ' ' 0 = 0

g ' ' 1 = 6 f ' 1 + 4 f ' ' 1 = 6 + 4 = 10

g ' ' 2 =   12 f ' 4 + 32 f ' ' 4 = 36 + 0 = 36

Logo temos a tabela:

Resposta

Tabela acima.