Se z = f(x, y) é uma função com derivadas parciais primeiras contínuas em uma região R , então pode-se definir um fluxo V(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) em R fazendo P(x, y) = - (df/dy) |_(x, y) e Q(x, y) = (df/dx) |_(x, y) Mostre que se X(t) = (x(t), y(t)) é uma solução do sistema autônomo plano

x' = P(x, y)

y' = Q(x, y) ,

Então f(x(t), y(t)) = c para alguma constante c . Assim uma curva solução está sobre uma curva de nível f

Passo 1

Nessa questão ele deseja saber,

X t = ( x t , y t ) é uma solução autônoma do plano sabendo que,

z = f ( x , y )

V ( x , y = ( P x , y , Q x , y )

P x , y = - d f d y x , y   e   Q x , y = d f d x x , y

Com x autônomo no plano,

x ' = P ( x , y )

y ' = Q ( x , y ) ,

Passo 2

Tendo que aplicar a regra da cadeia para calcular,

d d t f ( x t , y t , temos

x t = ( x t , y t ) é a solução

d d t f x t , y t = d f d t x ' t + d f d y y ' t = Q p - p = 0

Ficando,

f ( x t , y t = c

Resposta

f ( x t , y t = c